Metody numeryczne (Krzysztof Malarz)

Wykład

• Wstęp. Podstawowe pojęcia. Arytmetyka komputerowa.
• reprezentacja liczb
• uwarunkowanie zadania
• algorytm
• porpawność algorytmu
• stabilność algorytmu
• złożoność obliczeniowa
• Interpolacja.
• postawienie problemu
• macierz Vandermonde'a
• interpolacja Lagrange'a
• interpolacja Hermite'a
• funkcje sklejane
• schemat Hornera
• Aproksymacja.
• postawienie problemu
• aproksymacja średniokwadratowa
• aproksymacja wielomianowa
• aproksymacja jednostajna
• przestrzeń unitarna: iloczyn skalarny
• ortogonalizacja Grama-Schmidta
• Rozwiązywanie algebraicznych układów równań metodami bezpośrednimi.
• postawienie problemu
• eliminacja Gaussa
• metoda Gaussa-Jordana
• wybór elementu wiodącego
• rozkład LU
• obliczanie wyznaczników i odwracanie macierzy
• Rozwiązywanie algebraicznych układów równań metodami iteracyjnymi.
• postawienie problemu
• metoda Jacobiego
• metoda Gaussa-Seidla
• metoda kolejnych relaksacji
• metoda Czebyszewa
• metoda Richardsona
• iteracyjne poprawianie rozwiązania
• URL o współczynnikach zespolonych
• Całkowanie numeryczne.
• postawienie problemu
• węzły, współczynniki, rząd, i zbieżność kwadratur
• kwadratury elementarne
• kwadratury Newtona-Cotesa
• kwadratury Gaussa
• obliczanie całek niewłaściwych
• obliczanie całek funkcji z osobliwościami
• Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych.
• postawienie problemu
• metoda różnic skończonych
• metody jednokrokowe
• metoda Eulera, jej ulepszenia i modyfikacje
• metody Rungego-Kutty
• metody typu predyktor-korektor
• zbieżność metod
• liniowe metody wielokrokowe
• Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych.
• postawienie problemu
• metody różnicowe dla równań eliptycznych
• metody różnicowe dla równań parabolicznych
• metody różnicowe dla równań hiperbolicznych
• Równania nieliniowe i ich układy.
• postawienie problemu
• metoda bisekcji
• metoda Newtona
• metoda siecznych
• metody Mullera i Laguerre'a wyznaczania zer
• deflacja czynnikiem liniowym
• deflacja czynnikiem kwadratowym
• Wektory i wartości własne.
• postawienie problemu
• metoda potęgowa i deflacja
• podobieństwo macierzy
• konwersja macierzy do postaci Hessenberga lub trójdiagonalnej
• metoda Huseholdera
• metoda Givensa
• metody wyznacznikowe
• metoda Jacobiego
• metoda QR
• uogólniony problem własny
• spektrum macierzy zespolonej
• Minimalizacja.
• postawienie problemu
• przeszukiwanie na siatce
• metoda złotego podziału
• metoda prób i błędów
• metoda odwrotnej interpolacji parabolicznej
• metoda Brenta
• metody z pochodną
• minimalizacja w przestrzeni wielowymiarowej
• przeszukiwanie losowe
• zmiana jednego parametru
• metoda Rosenbrocka
• metoda simpleksów
• metody gradientowe (największego spadku, Newtona, kierunków i gradientów sprzężonych)
• Liczby pseudolosowe. Metody Monte Carlo.
• generatory liczb pseudolosowych
• generacja liczb z zadanym rozkładem
• mieszanie w tablicy
• całkowanie metodą Monte Carlo
• minimalizacja metodą Monte Carlo
• schemat Metropolisa
• symulowane wyżarzanie
• Szybka transformata Fouriera.
• postawienie problemu
• interpolacja trygonometryczna
• analiza Fouriera
• FFT: algorytm Cooleya-Tukeya
• synteza Fouriera
• algorytm Goerzela
• algorytm Reinscha
• Dodatek matematyczny: Norma wektorowa i macierzowa. Wielomiany ortogonalne.
• norma wektorowa
• norma macierzowa
• zgodność i podporządkowanie normy macierzowej normie wektorowej
• współczynnik uwarunkowania macierzy
• wielomiany ortogonalne w przestrzeni L_p²[a,b] i l_p,N²
• reguła trójczłonowa
• przykłady ciągów wielomianów ortogonalnych: Legendre'a, Laguerre'a, Hermite'a, Czebyszewa, Grama
• Przegląd bibliotek numerycznych.
• Numerical Recipes
• GNU-Scientific-Library
• Basic Linear Algebra Subprograms
• Linear Algebra PACKage = LINPACK + EISPACK
• COMPLIB @ Cyfronet-AGH
• CERN Program Library (@ Cyfronet-AGH)
• Numerical Algorithm Group (@ Cyfronet-AGH)
• Uzupełnienie i podsumowanie.