BANER
HOME CV HOBBY BLOG DYDAKTYKA DOKTORAT EFEKTY OFERTA LINKI AGH
ćwiczenia

Wyniki kolokwium:
zaocz.IIIr.GT (30.06.08),
zaocz.Ir.SUM (poprawa) (26.01.08),
zaocz.Ir.GPZ (26.01.08),
zaocz.Ir.SUM (15.12.07),
wszystkie,

STOPKA
Statystyka na piechotę

Statystyka dane do ćwiczeń ze statystyki (II rok)

10, 04, 11, 25, 23, 01, 17, 27, 20, 03, 24, 15, 08, 16, 07, 31, 05, 14, 22, 09, 18, 21, 19, 29, 30, 12, 28, 02, 13, 32, 06, 26, 33,


Spis treści

  1. szeregi rozdzielcze i histogramy,
  2. estymacja punktowa, miary wartości przeciętnej,
  3. estymacja punktowa, miary zmienności,
  4. badanie zgodności rozkładów z rozkładem normalnym,
  5. Estymacja przedziałowa, obliczanie przedziałów ufności dla średniej i odchylenia standardowego,
  6. analiza liniowej regresji i korelacji dwóch zmiennych,
  7. analiza związku danych ilościowych i porządkowych, korelacja rangowa,
  8. jednoczynnikowa analiza wariancji,
STOPKA
Kalkulatory statystyczne
Kalkulatory dystrybuant najważniejszych rozkładów zmiennych losowych ciągłych
F (Fischera-Snedecora)
t - Studenta
Χ2 (chi kwadrat),
STOPKA
Materiały pdf ze statystyki
Dystrybuanta rozkładu Normalnego dokument pdf
Dystrybuanta rozkładu Chi2 dokument pdf
Dystrybuanta rozkładu t Studenta dokument pdf
II rok - Metryczka teczki z ćwiczeniami ze statystyki dokument Corel Draw 8.0
STOPKA
Hobby

GS Surfer:
Surfer Variogram Tutorial (pdf Golden Software);
Anizotropia;

STOPKA
Dydaktyka

- Tworzenie stron www,
- Geologia ogólna,
- Statystyka i Metody matematyczne i informatyczne w geologii,
- Bazy danych,
- Techniki multimedialne w promocji i informacji turystycznej,


- Porady Geomedia Professional & Geomedia Grid,


Studencki humor kolokwialny,

STOPKA

Valid XHTML 1.0 Transitional

Rozkłady zmiennych losowych dyskretnych
Wersja do druku

UWAGA!!! materialy w tworzeniu

Dyskretną (skokową) zmienną losową nazywamy zmienną losową jeżeli zbiór jej wartości jest skończony lub co najwyżej przeliczalny.

Dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej

Dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej może być określona za pomocą nierówności słabej () lub mocnej ().

Dystrybuanta skokowej zmiennej losowej

Wartość przeciętna (średnia, oczekiwana, nadzieja matematyczna) dyskretnej zmiennej losowej

Wartość przeciętna skokowej zmiennej losowej

Warariancja dyskretnej zmiennej losowej

Wariancja zmiennej losowej
Wariancja skokowej zmiennej losowej

Obliczanie dystrybuanty z definicji nie zawsze jest łatwe. Pomocnym okazać się może związek pomiędzy wartością oczekiwaną, a wariancją:






1. Rozkład równomierny (jednostajny, prostokątny) (ang.: uniform distribition)

Jeżeli zmienna losowa posiada skończoną liczbę realizacji, a prawopodobieństwo zdarzenia polegającego na realizacji dowolnej zmiennej losowej jest jednakowe, mówimy wtedy o rozkładzie jednostajnym.

Rozkład jednostajny

Prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia z przestrzeni zdarzeń elementarnych jest stałe i dane wzorem:

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia x w rozkładzie jednostajnym

gdzie:
n - liczebność zbioru zdarzeń elementarnych.

2. Rozkład dwupunktowy

Rozkład dwupunktowy stosuje się w przypadku zmiennych losowych, które przyjmują wyłącznie dwie wartości. Można więc nim opisywać doświadczenia mogące się zakończyć na dwa sposoby np. rzut monetą (orzeł lub reszka). W praktyce, służy w badaniach populacji dzielących się na dwie kategorie np. ruda i skała płonna. Istnieją więc dwie realizacje zmiennej losowej X: X = {1, 0}. Gdy zmienna losowa przyjmuje wartość "1", przyjęło się mówić, że doświadczenie zakończyło się sukcesem, gdy natomiast zmienna przyjęła wartość "0", zakończyło się porażką.

Rozkład zmiennej losowej.

Tab.1. Tabelka realizacji zmiennej losowej X w rozkładzie dwupunktowym
i 1 2
xi 0 1
pi q p
pi- prawdopodobieństwa realizacji zmiennej losowej X.
xi- realizacje zmiennej losowej X,
Rozkład dwupunktowy
Rozkład dwupunktowy: prawdopodobieństwo porażki Rozkład dwupunktowy: prawdopodobieństwo sukcesu
Zależność p i q
Rozkład dwupunktowy: rozkład

Wartość przeciętna zmiennej losowej.

Rozkład dwupunktowy: wartość przeciętna

Wariancja zmiennej losowej.


Rozkład dwupunktowy: wariancja

2. Rozkład dwumianowy (dwupunktowy, Bernoulliego) (ang.: Bernoulli; binomial distribution)

Rozkład Bernoulliego jest najczęściej spotykanym w praktyce rozkładem zmiennej losowej. Stosujemy go wówczas gdy wykonujemy n niezależnych doświadczeń (wynik każdego nich nie zależy od doświadczń poprzednich), przy czym każde z doświadczeń ma, podobnie jak w rozkładzie dwupunktowym jedno z dwóch możliwych wyników: sukces lub porażkę. Tak więc prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym z doświadczeń takie samo. Jako wartość zmiennej losowej przyjmujemy ilość sukcesów. Zmienna losowa może zatem przyjmować wartości: X: X = {0, 1, 2, 3, ...N}.

Rozkład zmiennej losowej.

Zdefiniujmy zmienną losową X równą liczbie sukcesów k (np. wyrzucenie orła) w N=9 doświadczeniach (np. rzutach monetą).
Załóżmy, ze otrzymaliśmy wynik: O,O,R,O,R,R,O,O,R
gdzie:
O- oznacza wyrzucenie orła
R- oznacza wyrzucenie reszki
N=9; k=5;
Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania takiego ciągu?
Prawdopodobieństwo, że za pierwszym i następnymi razami wyrzucimy orła jest równe p. W związku z tym, że zdarzenia są niezależne, prawdopodobieństwo otrzymania takiego ciągu jest równe iloczynowi prawdopodoboieństw kolejnych zdarzeń.

W związku z tym, że interesują nas wszystkie możliwe ustawienia wyników (wariacje), mnożymy wszystko przez dwumian Newtona i otrzymujemy:

Rozkład dwumianowy
Zależność p i q

gdzie:
N - ilość doświadczeń,
k - ilość sukcesów w N doświadczeniach,

Wartość przeciętna zmiennej losowej.

Zdefiniujmy zmienną losową Y równą liczbie sukcesów k w N doświadczeniach.
Każdy z wyników otrzymanych w pojedynczym doświadczeniu zależy od innej zmiennej losowej Z, mającej dwie realizacje Z: Z={0, 1}.

Y Z realizacje zmiennej losowej Z
y0=0, z1, z2, z3, ..., zN 0, 0, 0, ..., 0
y1=1, z1, z2, z3, ..., zN 0, 0, 1, ..., 0
y2=2, z1, z2, z3, ..., zN 1, 0, 1, ..., 0
..., ..., ...,
yn=N, z1, z2, z3,...zN 1, 1, 1, ..., 1
Rozkład dwumianowy: wartość przeciętna
Rozkład dwumianowy: wartość przeciętna

Wariancja zmiennej losowej.

Rozkład dwumianowy: wariancja
RZYKŁAD

Dwóch równorzędnych graczy gra w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne dla każdego z nich:
1. wygrać dwie partie z czterech,
2. czy trzy z sześciu?.
Partie remisowe nie są brane pod uwagę.

ROZWIąZANIE

gdzie:
N- ilość doświadczeń,
k- ilość sukcesów w N doświadczeniach.
co jest bardziej prawdopodobne? N k
2 partie z 4 4 2
3 partie z 6 6 3
Rozkład dwumianowy
Zależność p i q

gdzie:
P(S)- prawdopodobieństwo sukcesu,
P(P)- prawdopodobieństwo porażki,



ODPOWIED


3. Rozkład Poissona (ang.: Poisson beta distribution)

Rozkład zmiennej losowej.

Rozkład Poissona stanowi szczególny przypadek rozkładu dwumianowego (Bernoulliego), w którym prawdopodobieństwo sukcesu (p) jest bardzo małe, a liczba niezależnych doświadczeń (N) na tyle duża, że iloczyn:

Np=const=λ

jest wielkością stałą, dodatnią i niezbyt dużą.

Rozkład Poissona

Wartość przeciętna zmiennej losowej.

Rozkład Poissona: wartość przeciętna

Wariancja zmiennej losowej.

Rozkład Poissona: wariancja

Rozkład Poissona stosujemy wszędzie tam, gdzie liczba obserwowanych doświadczeń niezależnych N w przestrzeni lub czasie jest bardzo duża, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedyńczym doświadczeniu p bardzo małe. Przykłady:
- rozpad promieniotwórczy: liczba jąder n duża, prawdopodobieństwo rozpadu konkretnego jądra bardzo małe;
- zderzenia cząstek elementarnych, duża ilość cząstek, mała szansa na zderzenie;

Zjawisko emisji cząstek α zachodzi w ekstremalnie krótkim czasie patrząc z punktu widzenia czasu geologicznego także trzęsienia Ziemi mogą być traktowane jako zjawiska epizodyczne, podobnie obecność drumlinów (polodowcowe wzgórki) czy też ponorów (wchłony wód) mogą byc uważane za zjawiska punktowe w porównaniu z wielkością regionów.

Analiza każdego zagadnienia wymaga obliczenia ilości zdarzeń w przyjętych interwałach przestrzeni lub czasu. Możemy np. policzyć ilość erupcji wulkanicznych w 25-letnich okresach czy rozkład ziarn granatów w cienkich przedziałach płaszczyzn foliacji łupków. Pytanie kiedy mamy do czynienia z losowym i niezależnym modelem zdarzeń i czy model ten odpowiada rozkładowi Poissona? Zdarzenia mogą byc uważane za losowe i niezależne jeżeli:

  1. prawopodobieństwo pojedynczego zdarzenia w bardzo krótkim interwale czasu lub przestrzeni jest w przybliżeniu proporcjonalne do długości tego interwału (czyli bardzo małe)
  2. Prawdopodobieństwo zajścia większej niż jedno ilości zdarzeń w każdym z interwałów jest zbliżone do zera (możemy stworzyć interwały wystarczająco małe do stworzenia takich warunków). Założenie to oznacza w praktyce, że w każdym z interwałów będzie odnotowane 0 lub 1 zdarzenie
  3. Pojawienie się lub brak zdarzenia jest od siebie niezależne
Wersja do druku
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka (zadania)
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zestaw zadań 1 (1-10)
Zestaw zadań 2 (11-16)
Zestaw zadań 3 (17-27)
Zestaw zadań 4 (28-32)
Zestaw zadań 5 (33-43)
Zestaw zadań 6 (44-56)
Zestaw zadań 7 (57-63)
Zestaw zadań 8 (64-69)
Cały zestaw (1-69)
STOPKA
Materiały ze statystyki

Dane do ćwiczeń,
DANE UWAGA!:
Dostępnych jest 60 zestawów danych. Każdy zestaw składa się z dwóch dokumentów (doc) oznaczonych odpowiednio w nazwie pliku litermi "A" lub "B" oraz jednym dokumentem *.sta (Statistica 5.0) (Sz. cz. A). W pliku: instrukcja_ST_5.doc zamieszczono szczegółową instrukcję do ćwiczeń autorstwa dr inż. Wojciecha Masteja, a w pliku: Sz-srf.xls dane do wykreślenia map.

Wstęp:
::Wstęp o estymacji,
Badanie jednej zmiennej:
::Miary przeciętne,
::Miary pozycyjne,
::Miary zmienności,
::Obciążenie estymatora wariancji,
::Miary asymetrii,
::Miary koncentracji,
::Przedział ufności dla średniej i odchylenia standardowego,
Badanie postaci rozkładów:
::Rozkłady dyskretne,
::Rozkłady ciągłe,
::Szeregi rozdzielcze,
::Testowanie zgodności rozkładów z rozkładem N(0,1) Χ2, K-S,
Współzależność dwóch cech:
::Regresja i korelacja dwóch zmiennych,
::Korelacja rang,
Analiza wariancji:
::Analiza wariancji (idea),
::Analiza wariancji (obliczenia),
::Testy jednorodności wariancji w grupach (testowanie założeń ANOVA),
::Testy post-hoc,
::Tematy dwuczynnikowa ANOVA,
Analiza danych kierunkowych:
::Analiza danych kierunkowych,
Analiza serii zdarzeń:
::Wstęp do analizy rozkładu zdarzeń,
::Testowanie losowości zdarzeń,
::Testowanie trendu w rozkładzie zdarzeń,
Dodatki:
::Literatura,

STOPKA
Linki statystyka

Statystyka:
Wielojęzyczny słownik statystyczny;
polska wersja Elektronicznego Podręcznika Statystyki - Serwis oprogramowania Statistica;

STOPKA
Pajacyk - KLIKNIJ!