Tomasz Bartuś

STATYSTYKA: zadania (1)

Tomasz Bartuś

1. Wykazać, że prawdopodobieństwa obliczane z definicji klasycznej spełniają aksjomaty Kołmogorowa.

2. Wykazać, że prawdopodobieństwa szacowane w oparciu o definicję częstościową spełniają aksjomaty Kołmogorowa.

3. Udowodnić, że prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.

4. Udowodnić, że suma prawdopodobieństw dowolnego zdarzenia A i zdarzenia doń przeciwnego wynosi 1.

5. Udowodnić, że jeżeli zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B, to P_(A) ≤ P_(B).

6. Wyprowadzić wzór na prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń losowych.

7. Dwie osoby, X i Y, umówiły się na spotkanie w określonym miejscu między godziną 12 a 13. Osoba, która przyjdzie wcześniej, ma czekać 20 minut i jeśli nie doczeka się drugiej osoby, odchodzi. Znaleźć prawdopodobieństwo spotkania się osób X i Y przy założeniu, że moment nadejścia każdej z nich jest losowy i nie zależy od momentu przyjścia drugiej osoby.

8. W zespole czteroosobowym jedna z osób zna język angielski, druga - rosyjski, trzecia - niemiecki, a czwarta - wszystkie te trzy języki. Wybieramy losowo jedną z tych osób. Zdarzenie A polega na tym, że wybraliśmy osobę znającą język angielski, zdarzenie B - że wybraliśmy osobę znającą język rosyjski, zdarzenie C - że wybraliśmy osobę znającą język niemiecki. Zbadać niezależność zdarzeń A, B i C.

9. Spośród trzech równorzędnych kandydatów mamy wybrać kierownika zespołu. Bierzemy trzy czyste kartki, na jednej z nich piszemy literę "K" i wszystkie kartki wrzucamy do urny. Kandydaci losują kolejno po jednej kartce i ten, który wyciągnie kartkę z literą "K", zostaje kierownikiem. Czy taki sposób wyboru jest sprawiedliwy?

10. Z talii brydżowej losujemy jedną kartę i (bez oglądania) dołączamy ją do drugiej talii, z której - po przetasowaniu - także losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana karta będzie asem? Jak zmieni się nasza wiedza o wyniku pierwszego losowania, jeżeli w drugim dostaniemy asa?