Tomasz Bartuś

STATYSTYKA: zadania (7)

Tomasz Bartuś

57. Udowodnić, że jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to ich kowariancja jest równa zeru.

58. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowych wartościach przeciętnych. Wykazać, że dla zależnych zmiennych losowych X i Z = X³ ⋅ Y jest <⋅>E(XZ) = E(X)*E(Z).

58. Rzucamy jedną kostką do gry. Zmienna losowa X przyjmuje wartość 0, gdy wyrzucimy parzystą liczbę oczek, zaś wartość l, gdy liczba oczek jest nieparzysta. Zmienna losowa Y przyjmuje wartość 1, gdy liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3, a wartość 2, gdy liczba oczek nie jest podzielna przez 3. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej (X, Y) oraz rozkłady brzegowe zmiennych X i Y. Zbadać niezależność zmiennych X i Y.

59. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma następujący rozkład prawdopodobieństwa:

60. Sprawdzić, że funkcja: jest funkcją gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y). Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej oraz rozkłady brzegowe zmiennych X i Y. Zbadać niezależność zmiennych X i Y oraz obliczyć wartość współczynnika korelacji.

61*. Dobrać stałą c tak, by funkcja była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.

62*. Dwie osoby z miasta A usiłują na zmianę, co trzy minuty, uzyskać automatyczne połączenie telefoniczne z miastem B, jednak każda z nich nie więcej niż trzykrotnie (oczywiście próby są przerywane z chwilą uzyskania przez jedną z osób połączenia). Prawdopodobieństwo uzyskania połączenia w czasie trzech minut wynosi 0,1. Wyznaczyć funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych losowych: X- liczba prób osoby rozpoczynającej, Y - liczba prób drugiej osoby, U - łączna liczba prób.

63*. Jedziemy do domu kolejno dwoma autobusami, z których każdy przyjeżdża na swój przystanek co 10 minut (niezależnie jeden od drugiego). Zakładając, że przychodzimy na przystanek w losowo wybranej chwili (a więc czas oczekiwania na oba autobusy ma rozkład jednostajny), obliczyć prawdopodobieństwo tego, że łączny czas oczekiwania na obu przystankach nie przekroczy 17 minut.