Tomasz Bartuś

STATYSTYKA: zadania (8)

Tomasz Bartuś

64. Niech X i Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi o skończonych wartościach przeciętnych. Wykazać, że D²(X+Y) = D²(X) + D²(Y) + 2 cov(X, Y), gdzie cov(X, Y) jest kowariancją zmiennych X i Y.

65. Wykazać, że wariancja iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y wyraża się równością D²(XY) = σ²x σ²y + m²x σ²y+ m²y σ²x.

66. Koszt pewnej operacji jest wprost proporcjonalny do kwadratu całkowitego czasu jej wykonania. Operacja jest dwuetapowa, przy czym czas X wykonania pierwszego etapu jest zmienną losową o wartości przeciętnej m_x i odchyleniu standardowym σ_x, zaś czas Y wykonania drugiego etapu jest zmienną losową o wartości przeciętnej m_y i odchyleniu standardowym σ_y. Zmienne X i Y są skorelowane; współczynnik korelacji wynosi ρ. Znaleźć wartość przeciętną kosztu wykonania całej operacji.

67. Wykazać, że jeśli między zmiennymi losowymi X i Y zachodzi związek liniowy Y=aX+b, to równanie linii regresji pierwszego rodzaju Y względem X ma postać y = m_y(x) = ax + b.

68. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma następujący rozkład prawdopodobieństwa:

69*. Wyznaczyć wartości współczynników a i b równania prostej regresji drugiego rodzaju. Wskazówka: Skorzystać z tożsamości Y- αX-β = Y-m_y+m_y-αX+αm_x-αm_x-β.