Fizyka dla informatyków - Notatki w Internecie

Wstęp

[wektory] [układy współrzędnych] [pochodna] [calki] [wzory Gaussa i Stokesa] [równania różniczkowe]

Niestety fizyka na pewnym poziomie nierozrerwalnie łączy sie z matematyką; nieco bardziej skomplikowaną, niż ta z którą mieliśmy styczność w szkole średniej. Różnice rozpoczynają się już przy spojrzeniu na współrzędne wektorów. Poszerzone także zostaną wiadomości dotyczące układów współrzędnych. Nie obędzie się oczywiście bez rachunku różniczkowo-całkowego, czyli wszelakiej maści całek, powiązań między nimi oraz równań różniczkowych oraz spsobów ich rozwiązywania.

Warto na wstępie wspomnieć, iż zamysłem twórców tej strony nie było bynajmniej przepisanie paru podręczników z analizy matematycznej na format HTML lecz jedynie zasygnalizowanie problemów, które Państwa czekają w najblizszym czasie.

ALGEBRA WEKTORÓW

Wektor (na użytek fizyków) to wielkość mająca określoną długość, kierunek i zwrot. Wektor zerowy 0 to wektor, którego koniec pokrywa się z początkiem długość jest równa 0, a kierunek jest nieokreślony. Wielkości wektorowe to np.: siła, prędkość, czy przyspieszenie.
Aby dodać wektory musimy znać ich składowe, w zadanym układzie wspólrzednych. Przy rozkładaniu wektora na składowe wygodnie jest czasem wprowadzić wektor jednostkowy o określonym kierunku (tzw. wersor). Często wygodnie jest narysować wektory jednostkowe wzdłuż osi wybranego układu współrzędnych. W prostokatnym układzie dla oznaczania jednostkowych wektorów o kierunku dodatnim osi x, y i z stosuje się zwykle odpowiednie symbole i, j i k. Wektory i, j i k są wzajemnie prostopadłe i stanowią bazę przestrzeni. Znaczy to tyle, że dowolny wektor w może zostać przedstawiony jako kombinacja liniowa wersorów: w=ai+bj+ck, gdzie a, b, c są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Liczby te nazywamy współrzędnymi wektora w w bazie (i, j, k).

Sumą r=a+b dwóch wektorów a=(a_x, a_y, a_z) i b=(b_x, b_y, b_z) nazywamy wektor o współrzędnych r=(r_x, r_y, r_z), gdzie: r_x=a_x+b_x, r_y=a_y+b_y, oraz
r_z=a_z+b_z.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a i b nazywamy liczbę (skalar) równą ab = |a||b|cos()
|a| - długość wektora a
|b| - długość wektora b
- kąt zawarty między tymi wektorami.

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów nazywamy wektor c=axb, którego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny w której leżą a i b zaś zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej. Długość wektora c wynosi:
|c| = |a||b|sin()

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH

kartezjański, biegunowy, sferyczny, cylindryczny

Położenie ciała w przestrzeni można określić tylko względem innych ciał. Można na przykład mówić o położeniu planety wzgledem Słońca, samolotu lub statku względem Ziemi, jednakże niemozliwe jest wskazanie ich polozenia w przestrzeni "w ogóle" - w absolutnym układzie współrzędnych, nie odnosząc go do żadnego konkretnego ciala.
Ukladem odniesienia nazywamy bryłę sztywną, z którą ścisle zwiazany jest układ wspólrzednych, wyposazony w zegar i wykorzystywany w celu określenia położenia w przestrzeni zadanych ciał w różnych chwilach. Niekiedy układem odniesienia nazywa się sam chronometryczny, tzn. wyposażony w zegar, układ współrzędnych, a ciało stałe, z którym jest on sztywno związany - ciałem odniesienia.
W każdym konkretnym przypadku układ odniesienia wybieramy tak, by w sposób maksymalny uprościć rozwiazanie danego zagadnienia - a to na ogół jest podyktowane przez symetrię problemu.
W fizyce zwykle używany jest inercjalny układ odniesienia.

Układ kartezjański

Najczęściej stosowany jest prostokątny, kartezjański układ współrzędnych, którego ortonormalną bazę tworzą trzy wektory jednostkowe (wersory) i, j, k, poprowadzone z poczatku układu współrzędnych O. Położenie dowolnego punktu P określa wektor wodzący punktu r, łączący początek układu współrzędnych O z punktem P. Wektor r można rozłożyc wzgledęm bazy i, j, k:
r=xi+yj+zk, gdzie xi, yj, zk są składowymi wektora r wzdłuż osi współrzędnych.
Współczynniki rozkładu x, y, z są współrzędnymi kartezjanskimi punktu P, nazywanymi również współrzędnymi (składowymi) wektora wodzacęgo r. Ze względu na ortogonalność wektorów bazy, wspólrzędne x, y, z są równe rzutom wektora wodzącego r na odpowiednie osie układu współrzędnych.
Ruch punktu materialnego jest w pełni określony, jeśli zadane są trzy ciagłe i jednoznaczne funkcje czasu t:
x=x(t), y=y(t), z=z(t),
opisujące zmianę w czasie współrzędnych punktu.
Równania te nazywamy kinematycznymi równaniami ruchu punktu. Są one równoważne jednemu wektorowemu równaniu: r=r(t).

Układ biegunowy

- kąt między osią OX i promieniem r
0<=

<=2pi;r>=0
Związek pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi:
x=r*cos(

); y=r*sin(

)
r=(x²+y²)^1/2;

=arctg(y/x)

Układ sferyczny

r - długość promienia wodzącego punktu

- kąt pomiędzy osią OZ i promieniem r (0<=

<=pi)

- kąt pomiędzy osią OX a rzutem r na płaszczyznę OXY (-pi<=

<=pi)

Związek pomiędzy współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi:
x=r*sin(

)*cos(

); y=r*sin(

)*sin(

); z=r*cos(

)
r=(x²+y²+z²)^1/2

Układ cylindryczny (walcowy)

- współrzędne biegunowe rzutu punktu na płaszczyznę OXY
z - "kartezjańska" współrzędna z
0<=

<=2pi; r>=0
Związek pomiędzy współrzędnymi cylindrycznymi i kartezjańskimi:
x=r*cos(

); y=r*sin(

); z=z
r=(x²+y²)^1/2;

=arctg(y/x)

POCHODNA

Pochodną funkcji f(x) w punkcie x₀ nazywamy granicę ilorazu różnicowego dla nieskończenie małego przyrost funkcji, czyli granicę stosunku przyrostu wartości funkcji do pryrostu argumentu, gdy przyrost zmiennej dąży do zera:
y/x=( f(x0+x)-f(x0) ) / x
Jeżeli granica w tym punkcie nie istnieje, to funkcja w tym punkcie nie ma pochodnej. Mówimy wtedy że nie jest różniczkowalna.
Pochodną funkcji y=f(x) oznaczamy:
y' , dy/dx, f'(x) , df(x)/dx

Geometrycznie, pochodna funkcji y=f(x₀) w danym punkcie równa się współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu w tym punkcie.

Własności pochodnej

(c*f(x))'=c*f'(x)
jeśli y=u+v to y'=u'+v'
jeśli y=uv to y'=u'v+uv'
jeśli y=u/v to y'=(u'v-uv')/v²

CAŁKI

Całka nieoznaczona

Funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale a<x<b nazywamy każdą taką funkcję, której pochodna F'(x)=f(x) dla każdego x w przedziale a<x<b.
Całką nieoznaczoną funkcji f(x) oznaczaną symbolem

f(x) dx

nazywamy wyrażenie F(x)+C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jest dowolną liczbą rzeczywistą

Kilka funkcji pierwotnych

x^a dx = x^a+1/(a+1) + C

1/x dx = ln|x| + C

e^x dx = e^x + C

a^x dx = a^x/ln(a) + C

cos(x) dx = sin(x) + C

sin(x) dx = -cos(x) + C

1/cos²(x) dx = tg(x) + C

1/sin²(x) dx = -ctg(x) + C

1/(1-x²)^1/2 dx = arcsin(x) + C = -arccos(c) + C^'

1/(x²+1) dx = arctg(x) + C = -arcctg(x) + C^'

sinh(x) dx = cosh(x) + C

cosh(x) dx = sinh(x) + C

1/cosh²(x) dx = tgh(x) + C

1/sinh²(x) dx = -ctgh(x) + C

1/(1+x²)^1/2(x) dx = arsinh(x) + C = ln(x+(x²+1)^1/2) + C

1/(x²-1)^1/2(x) dx = arcosh(x) + C = ln|x+(x²+1)^1/2| + C

Własności całki nieoznaczonej

(f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx

k*f(x)dx=k*f(x)dx
Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to:
uv' dx=uv-u'v dx
Jest to tzw. wzór na całkowanie przez części

Całka oznaczona

Całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a,b] oblicza się z zależności:

f(x) dx=F(b)-F(a)

gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) (jest to tzw. podstawowy wzór rachunku różniczkowo-całkowego).
Interpretacją geometryczną całki oznaczonej jest pole powierzchni ograniczonej prostymi x=a i x=b, krzywą wykresu y=f(x) oraz prostą y=0 (osią odciętych). Pola poniżej osi odciętych mają znak "-".

Wartość całki oznaczonej jest równa zaciemnionemu polu.

Związek pomiędzy całą oznaczoną a sumowaniem

Poniżej obliczymy

f(x) dx metodą przybliżonych prostokątów

f(x) dx =

f(a+i*

x)*

x.
Własności całki oznaczonej:

(f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx
k*f(x)dx=k*f(x)dx
Całka oznaczona ze względu na swoje powiązanie z całką nieoznaczoną posiada bardzo podobne własności.

Całki wielokrotne

Całkę potrójną funkcji f(x,y,z) w objętości całkowania V oznaczamy:
f(x,y,z) dV=f(x,y,z) dxdydz
Zamiana całki potrójnej na iterowaną:
f(x,y,z) dxdydz= ( ( f(x,y,z) dx) dy) dz
gdzie V: a<=x<=b, g₁(x)<=y<=g₂(x), h₁(x,y)<=z<=h₂(x,y)
Analogicznie definiuje się całki n-krotne.

Całki krzywoliniowe

Całkę krzywolinową (nieskierowaną) funkcji f(x,y,z) po krzywej L oznaczamy:

f(x,y,z) ds
Zamiana całki krzywoliniowej na ozanczoną dla krzywej L o równaniach x=x(t), y=y(t), z=z(t), a<=t<=b:

f(x,y,z) ds=

f( x(t),y(t),z(t) ) * ( x'(t)²+y'(t)²+z'(t)²)^1/2 dt

WZORY GAUSSA I STOKESA

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

Strumień pola wektorowego A przez powierzchnię zamkniętą gładką S zorientowaną na zewnątrz, ograniczającą obszar V normalny względem wszystkich płaszczyzn układu współrzędnych, jest równy całce potrójnej z dywergencji tego pola w obszarze V, czyli:
A*ds=divA dV

Twierdzenie Stokesa

Całka krzywoliniowa skierowana wzdłuż krzywej gładkiej przestrzennej zamkniętej równa się strumieniowi rotacji przez dowolną powierzchnię gładką S ograniczoną krzywą K, przy założeniu, że zwrot obiegu po krzywej i strona powierzchni są zgodne, tak więc:
A*dl = rotA*ds

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Są to równania postaci:
F( x, y', y'', y''', ... , y⁽ⁿ⁾)=0

Rząd równania różniczkowego - najwyższa pochodna szukanej funkcji występująca jawnie w równaniu.

Klasyfikacja

Równania zwyczajne - gdy szukana y jest funkcją jednej zmiennej.
Równania zwyczajne liniowe - równania zwyczajne złożone z pochodnych dowolnych rzędów nie będących argumentami innych funkcji.

np. równanie ln(y')+y=1 nie jest równaniem zwyczajnym liniowym

Równania różniczkowe liniowe zwyczajne I rzędu

Postać: dy/dx + p(x) * y = f(x)
Gdy p(x)=const to mamy do czynienia z równaniem o stałych współczynnikach.
W przypadku gdy f(x)=0 równanie jest jednorodne w przeciwnym wypadku jest to równanie niejednorodne.

Równania różniczkowe liniowe zwyczajne II rzędu

Postać: d²y/dx² + p(x) * dy/dx + q(x) * y = f(x)
Gdy p(x)=const i q(x)=const to mamy do czynienia z równaniem o stałych współczynnikach.
W przypadku gdy f(x)=0 równanie jest jednorodne w przeciwnym wypadku jest to równanie niejednorodne.

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest zwykle rodzina krzywych zależnych od kilku parametrów, które możemy jednoznacznie wyznaczyć uwzględniając warunki początkowe.

Rozwiązywanie przez odgadnięcie

Czasami mamy do czynienia z równaniami, których rozwiązanie jest bardzo łatwe do przewidzenia. Zgadujemy wtedy wynik i podstawiamy do równania. Jeżeli się zgadza to znaczy, że znależliśmy rozwiązanie.

Przykład:

d²y/dx²=e^x
Łatwo przewidzieć, że y(x)=e^x+ax+b ponieważ (e^x +ax+b)''=e^x

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:

Postać: M(x)*N(y)/dy + P(y)*Q(x)/dx=0, gdzie N(y) i Q(x) są rózne od 0
Przekształcenie: (Q(y)/N(y)) dy=-(M(x)/P(x)) dx
Po obustronnym scałkowaniu i prostych przekształceniach otrzymujemy wynik.

Przykład:

dy/dx = e^x
dy = e^x dx
dy = e^x dx
y = e^x+C

Równania liniowe II rzędu, jednorodne i o stałych współczynnikach

y''+py'+qy=0
Postulat: y=e^rx
więc y'=re^rx, y''=r²e^rx
Po podstawieniu: r²e^rx+pre^rx+qe^rx=0
Czyli r²+pr+q=0 - równanie charakterystyczne

delta>0
y₁=exp(r₁x), y₂=exp(r₂x) - układ fundamentalny
r₁, r₂ - pierwiastki równania charakterystycznego
y=C₁y₁+C₂y₂=C₁exp(r₁x)+C₂exp(r₂x) - całka ogólna równania jednorodnego (CORJ)

delta=0
y₁=exp(r₀x), y₂=xexp(r₀x)
y=exp(r₀x)(C₁+C₂x) - CORJ

delta<0
Równanie charakterystyczne posiada pierwiastki zespolone r₁=a+ib, r₂=a-ib.
y₁=exp(ax)cos(bx), y₂=exp(ax)sin(bx)
y=exp(ax)(C₁cos(bx)+C₂sin(bx)) - CORJ

Równania liniowe I rzędu, niejednorodne i o stałych współczynnikach

y'+py=f(x) (1)
Aby rozwiązać takie równanie musimy

rozwiązać równanie stowarzyszone:
y'+py=0
które potrafimy już rozwiązać (np. metodą rozdzielenia zmiennych).
Po rozwiązaniu otrzymujemy:
y=Ce^-px - CORJ

uzmiennić stałą C z CORJ:
y=C(x)e^-px (2)
y'=C'(x)e^-px-pC(x)e^-px
Po podstawieniu do równania (1) otrzymujemy:
C'(x)=f(x)e^px
C(x)=

f(x)e^px dx
Po podstawieniu C(x) do równania (2) otrzymujemy całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN):
y(x)=e^-px

f(x) e^px dx
CORN=CORJ+CSRN - całka ogólna równania niejednorodnego (szukane rozwiązanie)

Równania różniczkowe cząstkowe - metoda separacji zmiennych

Są to takie równania różniczkowe, w których występuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa funkcji dwóch (albo więcej) zmiennych.
Aby rozwiązac takie równanie zakladamy, iż rozwiazanie F(x,y) da się przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji jednej zmiennej: F(x,y)=X(x)Y(y). Teraz musimy doprowadzić je do postaci, w której lewa strona zależy od jednej zmiennej nie występującej po prawej stronie tego równanie. Ponieważ lewa strona zależy TYLKO od zmiennej x, a druga TYLKO od zmiennej y musimy uznać, że każda ze stron równa się tożsamościowo pewnej stałej. Po zastąpieniu prawej strony równania tą stałą otrzymujemy równanie zwyczajne, które rowizujemy wcześniej poznanymi metodami. Postępując analogicznie suksesywnie dla kolejnych zmiennych otrzymujemy końcowe rozwiązanie...

Autorzy: Konrad Kwiatkowski, Maciej Kordas, Rafał Lorek