2. Ruch jednowymiarowy

2.2 Prędkość

Definicja
Prędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu.

Prędkość stała

  Jeżeli wskazania prędkościomierza samochodu nie zmieniają się to oznacza, że samochód porusza się ze stałą prędkością v, i jeżeli w pewnej chwili t0 znajdował się w położeniu x0 to po czasie t znajdzie się w położeniu x

skąd

(2.1)

  Zależność między położeniem x i czasem t pokazana jest na rysunku poniżej dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika ze wzoru (2.1) nachylenie wykresu x(t) przedstawia prędkość danego ciała. Różne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc różnym prędkościom. Prędkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosnących x, ujemny to ruch w kierunku malejących x

.

Rys. 2.1. Zależność położenia od czasu dla ciała poruszającego się ze stałą prędkością.

Ćwiczenie
Odczytaj z wykresu i zanotuj położenia początkowe x0 obu ciał oraz ich prędkości. Sprawdź obliczenia i wynik.

Prędkość chwilowa

  Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie możemy mówić o "jednej" stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna. Nie można wtedy stosować wzoru (2.1) chyba, że ograniczymy się do bardzo małych wartości xx0 (Δx) czyli również bardzo małego przedziału czasu Δt = tt0 (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy gdy Δt dąży do zera

(2.2)

Tak definiuje się pierwszą pochodną więc

Definicja
Prędkość chwilowa jest pochodną drogi względem czasu.

(2.3)

Nachylenie krzywej x(t) ponownie przedstawia prędkość v, a znajdujemy je (zgodnie z definicją pochodnej) jako nachylenie  stycznej do wykresu x(t), w danym punkcie tj. dla danej chwili t (rysunek poniżej).

Rys. 2.2. Nachylenie krzywej x(t) jest prędkością chwilową

Prędkość średnia

   Często określenie zależności x(t) nie jest możliwe, np. przy oszacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości nie jesteśmy w stanie przewidzieć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość takich jak natężenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości średniej. Prędkość średnia ciała w przedziale czasu t jest zdefiniowana jako

Definicja

(2.4)

gdzie x - x0 jest odległością przebytą w czasie t.

Ćwiczenie
Skorzystajmy z powyższej definicji i obliczmy prędkość średnią samochodu, który przejeżdża odcinek  x1 = 20 km z prędkością  v1 = 40 km/h a potem, przez następne x2 = 20 km, jedzie z prędkością v2 = 80 km/h. Spróbuj wykonać samodzielnie obliczenia. Sprawdź obliczenia i wynik.

Otrzymany wynik: 53.33 km/h jest różny od średniej arytmetycznej z prędkości  v1 v2, która wynosi 60 km/h.  Powodem jest to, że poszczególne wartości wchodzą w skład średniej matematycznej z różnymi czynnikami wagowymi. W naszym przykładzie obliczamy średnią względem czasu, więc skoro przedziały czasu, w których samochód jedzie z prędkościami  v1 v2 są różne to i udziały tych prędkości w średniej są też różne. Wartość średnia daje praktyczne wyniki. Zilustrujmy to jeszcze jednym przykładem:

Ćwiczenie
Obliczmy drogę hamowania samochodu, który jedzie z prędkością 20 m/s (72 km/h). Czas hamowania wynosi 5 sekund, a prędkość samochodu maleje jednostajnie (stała siła hamowania). Spróbuj wykonać samodzielnie obliczenia korzystając z równania (2.4). Sprawdź obliczenia i wynik.

Ten przykład wprowadza nas do omówienia przyspieszenia.

... ...