5. Wybrane zagadnienia z dynamiki

5.2 Siły bezwładności

  Omawiając zasady dynamiki Newtona wprowadziliśmy ważne pojęcie fizyczne: zdefiniowaliśmy inercjalny układ odniesienia. Stwierdziliśmy wtedy, że układy inercjalne są tak istotne bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa, i dlatego większość  zagadnień staramy się rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Nasuwa się jednak pytanie, jak stosować zasady dynamiki Newtona w układzie odniesienia, który doznaje przyspieszenia. Na przykład co możemy powiedzieć o siłach jakich działania "doznajemy"  gdy znajdujemy się w samochodzie, który przyspiesza, hamuje lub zakręca?
W tym celu rozpatrzymy ruch ciała o masie m poruszającego się wzdłuż osi x ruchem przyspieszonym, pod wpływem działania siły F = ma. Ruch ten jest obserwowany z dwóch różnych układów odniesienia (dwaj obserwatorzy), z których jeden xy jest układem inercjalnym, a drugi  x'y' porusza się względem pierwszego wzdłuż osi x (rysunek poniżej).

Rys. 5.2. Położenie ciała m w dwóch układach odniesienia

Odległość miedzy dwoma obserwatorami (układami) wynosi w danej chwili x0(t) więc związek między położeniem ciała rejestrowanym przez obu obserwatorów ma postać

(5.5)

Natomiast przyspieszenie w obu układach znajdujemy korzystając z równań (3.1) 

(5.6)

to znaczy, różniczkując dwukrotnie równanie (5.5)

(5.7)

Widać, że przyspieszenia w obu układach są równe tylko wtedy gdy a0 = 0  więc gdy układ x'y' porusza się względem układu xy ruchem jednostajnym lub względem niego spoczywa to znaczy gdy układ x'y' też jest układem inercjalnym tak jak xy.
Natomiast gdy a0 ≠ 0 to układ x'y' nazywamy układem nieinercjalnym  , a jego przyspieszenie a0 przyspieszeniem unoszenia . Widzimy, że przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania F = ma zmienia się w zależności od przyspieszenia obserwatora. Jeżeli pomnóżmy równanie (5.7) obustronnie przez m to otrzymamy

   lub   

(5.8)

Widzimy, że w układzie x'y' (przyspieszającym) zasady dynamiki Newtona nie są spełnione bo:

Definicja
Ten iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia (ze znakiem minus) nazywamy siłą bezwładności Fb .

Ze wzoru (5.8) wynika, że jeżeli w układach nieinercjalnych chcemy stosować drugą zasadę dynamiki Newtona to musimy uwzględniać siły bezwładności.
Jak już mówiliśmy istnieją tylko cztery podstawowe oddziaływania, z których wynikają wszystkie siły zaobserwowane we Wszechświecie. Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z działaniem pochodzącym od konkretnym ciał materialnych. Inaczej jest z siłami bezwładności, które nie pochodzą od innych ciał, a ich obserwowanie jest związane wyłącznie z wyborem nieinercjalnego układu odniesienia. Dlatego siły bezwładności nazywamy siłami pozornymi .

Przykład

Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.

Rys. 5.3. Ruch kulki obserwowany z różnych układów odniesienia

Jeden z obserwatorów znajduje się w samochodzie, a drugi stoi na Ziemi. Samochód początkowo porusza się ze stałą prędkością v po linii prostej (rys. 1), następnie hamuje ze stałym opóźnieniem a (rys. 2). Między kulką, a podłogą samochodu nie ma tarcia. Gdy samochód jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie, na podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła: obserwator w samochodzie zauważa, że
vkulki =  0 → F = 0, a obserwator stojący obok stwierdza, że vkulki = v = const.  → F = 0. Zwróćmy uwagę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia.
Sytuacja zmienia się gdy samochód zaczyna hamować (rys. 2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi, że kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga samochodu przesuwa się pod nią, bo samochód hamuje. Natomiast obserwator w samochodzie stwierdza, że kulka zaczyna się poruszać się z przyspieszeniem –a w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, że na kulkę o masie mkulki zaczęła działać siła

(5.9)

ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że druga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauważmy, że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym i siła jakiej działanie zauważa jest pozorną siłą
bezwładności
.

Działanie sił bezwładności odczuwamy nie tylko podczas przyspieszania i hamowania (przyspieszenie styczne), ale również gdy zmienia się kierunek prędkości. Zgodnie z definicją siły bezwładności

(5.10)

a dla ruchu krzywoliniowego przyspieszenie układu jest przyspieszeniem normalnym (dośrodkowym w ruchu po okręgu)

(5.11)

więc wartość siły bezwładności wynosi

(5.12)

Tę siłę bezwładności nazywamy siłą odśrodkową . Z taką siłą mamy do czynienia na przykład podczas jazdy samochodem na zakręcie. Również Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym ponieważ wiruje. Jednak w większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich przebieg.

Tu dowiesz się  Więcej o ...  siłach bezwładności (siła Coriolisa).

Na zakończenie spróbuj rozwiązać następujący problem

Ćwiczenie
Winda rusza w dół i przez pewien czas porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Czas t spadania ciała puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż niż czas t0 w windzie stojącej. Oblicz przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g. Sprawdź obliczenia i wynik.


... ...