7. Praca i energia

7.2 Praca wykonana przez siłę zmienną

   Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x1 do położenia x2. Jak już mówiliśmy wzór W = F·s pozwala obliczyć pracę dla stałej siły F . Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na rysunkach 7.3 (linia ciągła) trzeba stosować inny algorytm.

 Rys. 7.3a. Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości Fi

Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie x na n jednakowych odcinków Δx tak jak na rysunku. Wewnątrz takiego przedziału Δx przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru (7.1) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale Δx.

(7.2)

gdzie Fi jest wartością siły na i -tym odcinku Δx. Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach otrzymując całkowitą pracę

(7.3)

Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie Δx i wysokości Fi.
Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku  dzielimy przedział (x1, x2) na więcej (mniejszych) odcinków Δx, tak jak pokazano na rysunku 7.3b.

 Rys. 7.3b. Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości Fi

Ponownie obliczamy pracę dla każdego odcinka i powtarzamy procedurę sumowania dla otrzymania pracy całkowitej. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił Fi dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji F(x), a co za tym idzie obliczona wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą). Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) Δx → 0. Stosujemy tę samą procedurę obliczając całkowitą pracę

(7.4)

Tak w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą F(x) w zadanym przedziale (patrz rysunek 7.3c). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej  co zgadza się z intuicyjnym podejściem.

 Rys. 7.3c. Pole powierzchni pod krzywą F(x) jest równe liczbowo pracy wykonanej przez siłę na odcinku x1

Symulacje komputerowe
Korzystając z załączonego programu możesz prześledzić jak dzielenie przedziału (x1, x2) na więcej (mniejszych) odcinków Δx wpływa na dokładność obliczeń pracy wykonanej przez zmienną siłę F(x). Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.

Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach) lub umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą co w szczególnych przypadkach nie jest trudne.

Przykład

Rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem i rozciąganą siłą F tak, że jej drugi koniec przemieszcza się o x. Siła wywierana przez sprężynę Fs = − kx  jest siłą przywracającą równowagę. Aby rozciągnąć sprężynę musimy zatem przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną tzn. F = kx.

 Rys. 7.4. Rozciąganie sprężyny siłą F

Znamy już postać funkcji F(x) i możemy teraz korzystając z równania (7.4) obliczyć pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny

(7.5)

Ćwiczenie
Sprawdź, czy uzyskana wartość jest poprawna. W tym celu oblicz bezpośrednio pole pod wykresem funkcji F(x) i porównaj z wynikiem całkowania. Sprawdź obliczenia i wynik.

... ...