8. Zasada zachowania energii

8.2 Energia potencjalna

   Gdy rozpatrywaliśmy (w poprzednim rozdziale) ruch ciała pod wpływem siły grawitacji lub siły sprężystości widzieliśmy, że energia kinetyczna poruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) podczas ruchu, tak że w cyklu zamkniętym powracała do początkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze, do opisania tych zmian celowe jest wprowadzenie pojęcia energii potencjalnej Ep. Mówimy, że zmianie energii kinetycznej ciała o wartość ΔEk towarzyszy zmiana energii potencjalnej ΔEp tego ciała równa co do wartości ale przeciwnego znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

(8.6)

Każda zmiana energii kinetycznej ciała Ek jest równoważona przez zmianę energii potencjalnej Ep, tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

(8.6)

Możesz prześledzić zmiany energii w rzucie pionowym uruchamiając animację poniżej

Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.

 Rys. 8.5. Energia kinetyczna i potencjalna w rzucie pionowym

Energię potencjalną można traktować jako energię nagromadzoną, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana i zamieniona na inną użyteczną formę energii. Oznacza to, że nie możemy wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą. Energię potencjalną często nazywa się energią stanu . Mówimy, że jeżeli energia układu zmieniła się to zmienił się stan układu.

Z twierdzenia o pracy i energii (7.10) wynika, że

(8.8)

więc zgodnie z wprowadzonym pojęciem energii potencjalnej, dla zachowawczej siły F, zachodzi związek

(8.9)

Korzystając z ogólnego wzoru na pracę (7.4) otrzymujemy ogólną zależność

(8.10)

Możemy również zapisać zależność odwrotną między siłą i energią potencjalną

(8.11)

Zauważmy, że na podstawie równania (8.10) potrafimy obliczyć zmianę energii potencjalnej ΔEp, a nie samą energię potencjalną Ep. Ponieważ
ΔEp = Ep(r) - Ep(r0), to żeby znaleźć Ep(r) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość Ep(r0)

(8.12)

Punkt r0 nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak, żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia Ep(r0) była równa zeru. Jako punkt odniesienia r0 często wybiera się położenie, w którym siła działająca na ciało jest równa zeru. Trzeba jednak podkreślić, że wybór punktu odniesienia jest sprawą czysto umowną.

Przykład

Spróbujmy teraz obliczyć energię potencjalną na przykład w rzucie pionowym do góry, w pobliżu powierzchni Ziemi (rysunek obok). W tym celu przyjmujemy, że ruch odbywa się wzdłuż osi y, przy czym kierunek osi y w górę przyjmujemy jako dodatni. W konsekwencji siła grawitacji F(y) = −mg bo jest skierowana w ujemnym kierunku osi y. Wybieramy teraz punkt odniesienia np. na powierzchni Ziemi y0 = 0 i przyjmujemy Ep(0) = 0. Energię potencjalną w położeniu y tj. na wysokości y ponad poziomem odniesienia obliczamy z równania (8.12). Obliczenie jest tym prostsze, że siła grawitacji F(y) jest stała więc nie musimy obliczać całki ale do obliczenia pracy stosujemy wzór (7.1) W = Fs. Otrzymujemy, że energia potencjalna związana z siłą grawitacyjną wynosi mgy, gdzie y jest wysokością ponad punktem (poziomem) odniesienia i jest równa pracy jaką trzeba wykonać przy podnoszeniu ciała na tę wysokość (przykład z rozdziału 7.1). Energia potencjalna przedstawia tu formę nagromadzonej w wyniku wykonanej pracy energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną, podczas spadku ciała z danej wysokości.

(8.13)

W analogiczny sposób obliczymy teraz energię potencjalną idealnej nieważkiej sprężyny. Gdy sprężyna jest rozciągnięta na odległość x od położenia równowagi to siła sprężystości wynosi F = − kx. Jako punkt odniesienia przyjmujemy tym razem x0 = 0. Odpowiada to położeniu równowagi, w którym sprężyna jest nierozciągnięta i siła sprężystości jest równa zeru. Energię potencjalną ponownie obliczamy z równania (8.12) przy czym korzystamy z podanego  wyrażenia (7.5) na pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny

(8.14)

Spróbuj teraz, korzystając z definicji energii potencjalnej, wykonać następujące ćwiczenie

Ćwiczenie
Dwa klocki o masach m1 i m2 są połączone cienką linką przerzuconą przez nieważki bloczek tak jak na rysunku poniżej.  W układzie występuje tarcie pomiędzy masą m1 i stołem. Układ pozostający początkowo w spoczynku zostaje puszczony i masa m2 opada na podłogę.
Określ, w chwili gdy klocek m2 dociera do podłogi, jaki znak (+/-) ma:
1) energia potencjalna klocka m1 względem podłogi,
2) energia potencjalna klocka m2 względem stołu,
3) praca wykonana przez siłę grawitacji,
4) praca wykonana przez siłę tarcia,
5) zmiana energii potencjalnej układu,
6) zmiana energii kinetycznej klocka m1,
7) zmiana energii kinetycznej klocka m2.
Spróbuj też odpowiedzieć na następujące pytania:
1) Czy zmiana energii kinetycznej klocka m1 jest większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii kinetycznej klocka m2?
2) Czy zmiana całkowitej energii kinetycznej układu jest co do bezwzględnej wartości większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii potencjalnej układu?
Sprawdź odpowiedzi.

Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego

W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawitacyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała. Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną masy m znajdującej się w  dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi.
Gdy obliczaliśmy grawitacyjną energię potencjalną w pobliżu powierzchni Ziemi (przykład powyżej) właśnie powierzchnię Ziemi przyjmowaliśmy jako punkt odniesienia. Natomiast dla ogólnych obliczeń punkt odniesienia wybiera się w nieskończoności. Temu położeniu (r) przypisujemy zerową energię potencjalną. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem zerowej siły.
Przypomnijmy, że dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu z położenia (lub ogólniej ze stanu) A do B możemy zapisać jako

(8.15)

Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla tak wybranego punktu odniesienia

(8.16)

Praca wykonywaną przez siłę grawitacji przy przenoszeniu masy m z punktu odległego o r od środka Ziemi do nieskończoności wynosi

(8.17)

Znak minus wskazuje kierunek działania siły grawitacji (przeciwny do przesunięcia).
Ponieważ energia potencjalna ma wartość równą zeru w nieskończoności (punkt odniesienia) więc grawitacyjna energia potencjalna w odległości r od środka Ziemi (od środka dowolnej masy M) wynosi

(8.18)

Energia potencjalna ma wartość równą zeru w nieskończoności (punkt odniesienia) i maleje w miarę zmniejszania się r. Oznacza to, że siła jest przyciągająca. Wzór ten jest prawdziwy bez względu na wybór drogi po jakiej punkt porusza się z nieskończoności do r bo siła grawitacji jest siłą zachowawczą.

Widzimy, że z polem siły grawitacji wiąże się przestrzenny rozkład energii E(r) dany równaniem (8.17).

Omawiając w punkcie (6.4) pole grawitacyjne przedstawialiśmy siłę działającą na umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn natężenia pola i masy tego obiektu. Stwierdziliśmy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sposób uniezależniliśmy nasz opis od masy obiektu wprowadzanego do pola. Podobnie możemy postąpić z energią potencjalną. Zauważmy, że zgodnie z wyrażeniem (8.17) możemy ją przedstawić jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)

(8.19)

Definicja
Funkcję V(r) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy.

(8.20)

Jak już wspominaliśmy z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Przy opisie zjawisk elektrycznych również będziemy się posługiwali pojęciem pola (elektrycznego), jego natężenia i potencjału.

Ćwiczenie
Skorzystaj teraz z wyrażenia na grawitacyjną energię potencjalną, żeby znaleźć prędkość jaką należy nadać obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniósł się on na wysokość h nad powierzchnię Ziemi. Dane są masa Ziemi Mz i jej promień Rz oraz stała grawitacyjna G. Sprawdź obliczenia i wynik.

Jeżeli obiektowi nadamy na powierzchni Ziemi odpowiednio dużą prędkość początkową to zacznie on okrążać Ziemię i nie spadnie na jej powierzchnię. Tę graniczną prędkość nazywamy pierwszą prędkością kosmiczną . Jest to najmniejsza prędkość jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół Ziemi. Na tak poruszający się obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodkowa. Siły te mają przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równoważą się

(8.21)

skąd obliczamy

(8.22)

Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału jeszcze większej energii kinetycznej to wtedy może ono bezpowrotnie uciec z Ziemi w przestrzeń kosmiczną. Prędkość początkową (tzw. prędkość ucieczki), przy której ciało ucieknie z powierzchni Ziemi do nieskończoności znajdujemy analogicznie jak w ćwiczeniu powyżej wstawiając h → Prędkość ta nosi nazwę drugiej prędkości kosmicznej i wynosi

(8.23)

Zauważmy, że w trakcie oddalania się ciała do nieskończoności (R ) jego energia potencjalna rośnie do zera (jest ujemna) kosztem energii kinetycznej, która maleje do zera (jest dodatnia).
W naszych obliczeniach pominęliśmy inne siły,  takie jak siły grawitacyjne wywierane przez Księżyc czy Słońce.

... ...