9. Zasada zachowania pędu

Układy o zmiennej masie

   Rozpatrzymy układ, który stanowi rakieta wyrzucająca ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek poniżej).

 Rys. 1. Napęd odrzutowy rakiety

Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością vs względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość spalin względem rakiety vwzg jest dana zależnością

(1)

Jeżeli w przedziale czasu dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z prędkością vs to masa rakiety maleje o dm, a jej prędkość rośnie o dv, przy czym

(2)

Znak minus wynika stąd, że masa rakiety maleje. Obliczamy teraz zmianę pędu P układu w czasie dt

(3)

lub

(4)

skąd ostatecznie

(5)

Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością.
Zmiana pędu układu jest zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności (1) i (2) możemy przekształcić równanie (5) do postaci

(6)

Ostatni wyraz w równaniu (6) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety (samolotu) nosi ona nazwę siły ciągu .

Przykład

Samolot odrzutowy leci z prędkością 250 m/s i z taką prędkością jest wciągane do jego silnika powietrze. W każdej sekundzie silnik samolotu spala mieszankę paliwową składającą się z 75 kg powietrza i 3 kg paliwa, a prędkość wyrzucania spalin wynosi 500 m/s.
Siłę ciągu obliczamy zgodnie ze wzorem (6) przy czym prędkość względna jest równa różnicy prędkości wyrzucania spalin i wciągania powietrza vwzg = 250 m/s, a masa spalin wyrzucanych w jednostce czasu wynosi 78 kg/s. Stąd otrzymujemy siłę ciągu równą 1.95·104 N.

Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne Fzew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu (jest spełniona zasada zachowania pędu). Natomiast gdy ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas Fzew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć Fzew. Np. rakieta Saturn 5, o masie ponad 3000 ton, wytwarzała przy starcie siłę ciągu 40 MN.

... ...