10. Zderzenia

10.1 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

   Termin zderzenia obejmuje w fizyce szeroką klasę zjawisk. Do tej kategorii zaliczamy na przykład  zderzenia kul bilardowych czy uderzenia piłki o ścianę. W tych przypadkach zderzające się ciała stykają się bezpośrednio i w punkcie ich zetknięcia pojawia się bardzo duża siła kontaktowa. Jednak oddziaływujące ciała nie muszą się stykać ze sobą, a i tak możemy mówić o ich zderzeniu. Dotyczy to na przykład oddziaływania cząstek naładowanych za pośrednictwem pola elektrycznego: odpychanie elektrostatyczne wpływa na ruch "zderzających się" cząstek. Pod pojęcie zderzeń możemy podciągnąć również reakcje jądrowe. Przykładowo, proton w trakcie zderzenia z jądrem może wniknąć do niego. Możemy również rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek.
Cechą charakterystyczną tych wszystkich zjawisk jest występowanie sił impulsowych ,  to jest sił działających przez bardzo krótki czas.

Właśnie ze względu na krótki czas działania nie możemy na ogół  zmierzyć sił działających podczas zderzenia . Wiemy jednak, że musi być spełniona zasada zachowania pędu (występują tylko siły wewnętrzne oddziaływania między zderzającymi się obiektami, a siły zewnętrzne są równe zeru), oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można, stosując te zasady, spróbować przewidzieć wynik zderzenia.

Definicja
Gdy dwa ciała zderzają się to zderzenie może być sprężyste (elastyczne) lub niesprężyste (nieelastyczne) w zależności od tego czy energia kinetyczna jest zachowana podczas tego zderzenia czy też nie.

W zderzeniu sprężystym całkowita energia kinetyczna jest taka sama po zderzeniu jak przed zderzeniem podczas gdy w zderzeniu niesprężystym ciała tracą część energii kinetycznej. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste .

Jako przykład rozpatrzymy, zderzenie sprężyste dwóch gładkich nie wirujących kul o masach m1m2. Przed zderzeniem kule poruszają się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne ) z prędkościami odpowiednio v1 i v2 na przykład tak jak na rysunku poniżej. Naszym celem jest znalezienie prędkości u1 i u2 tych kul po zderzeniu.

 Rys. 10.1. Kule o masach m1 i m2 przed (a) i po (b) zderzeniu

Z zasady zachowania pędu dla układu obu kul otrzymujemy

(10.1)

Ponieważ zderzenie jest sprężyste to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu

(10.2)

 Rozwiązujemy układ  dwóch równań (10.1) i (10.2) z dwoma niewiadomymi u1 i u2 i otrzymujemy.

(10.3)

oraz

(10.4)

Przykład

Rozpatrzmy teraz kilka przypadków. W każdym z nich, posługując się zależnościami (10.3) i (10.4) obliczymy prędkości ciał po zderzeniu u1 i u2.

a) Zderzenie dwóch identycznych ciał m1 = m2 = m. Rozwiązanie: u1 = v2, u2 = v1
W tym przypadku ciała wymieniają się prędkościami i zarazem pędami (animacja poniżej).

Kliknij na rysunku, żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcię oznacza powrót do początku.

 Rys. 10.2. Ilustracja przypadku (a): dwie identyczne kule w wyniku
 zderzenia wymieniają się pędami

Na przykład gdy podczas gry w bilard poruszająca się z prędkością v kula zderza się centralnie z drugą identyczną ale nieruchomą kulą to sama zatrzymuje się, a spoczywająca dotychczas kula zaczyna poruszać się z prędkością v.

b) Lekka cząstka zderza się centralnie z ciężkim nieruchomym jądrem lub piłka uderza o ścianę; m1 << m2, v2 =0. Rozwiązanie u1 = −v2, u2 = 0.
Piłka odbija się sprężyście od ściany więc prędkość zmienia znak (wektor zmienia zwrot), a ściana pozostaje nieruchoma.

c) Sytuacja odwrotna, ciężka cząstka uderza w nieruchomą cząstkę lekką;   m1 >> m2 oraz v2 = 0. Rozwiązanie: u1 = v1, u2 = 2v1.
Cząstka lekka uzyskuje prędkość dwukrotnie większą od cząstki ciężkiej, której prędkość (pęd) nie ulega zmianie.

Powyższa analiza pokazuje na przykład jak dobierać materiał spowalniający neutrony w reaktorze. Neutrony muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderza się je sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się z nimi "odbijałyby" się nie tracąc nic z prędkości (przypadek b). Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie, np. elektrony, to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości (przypadek c). Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutronów (przypadek a).

Ćwiczenie
Sprawdź, jaką część swej energii kinetycznej traci neutron o masie m1 w zderzeniu centralnym z będącym w spoczynku jądrem atomowym o masie m2 ? Obliczenia wykonaj dla jądra ołowiu m2 = 206 m1, jądra węgla m2 = 12 m1 i jądra wodoru m2 = m1. Sprawdź  obliczenia i  wynik.

Rozważmy teraz przykład zderzenia całkowicie niesprężystego. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Energia będąca różnicą pomiędzy początkową i końcową energią kinetyczną przechodzi w inne formy energii na przykład w ciepło lub energię potencjalną związaną z deformacją ciała podczas zderzenia. Tak jest w przypadku wahadła balistycznego, które służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie M, wiszącego na dwóch sznurach. Pocisk o masie m, mający prędkość poziomą v, wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło tzn. klocek z tkwiącym w nim pociskiem wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h tak jak pokazano na animacji poniżej.

Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.

 Rys. 10.3. Wahadło balistyczne

Pęd przed zderzeniem jest równy pędowi pocisku, bo klocek jest nieruchomy. Natomiast po zderzeniu klocek i pocisk poruszają się razem. Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy

(10.5)

gdzie u jest prędkością układu klocek - pocisk zaraz po zderzeniu. W zderzeniu, część energii kinetycznej pocisku jest tracona min. na ciepło i odkształcenie klocka, w który pocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się po zderzeniu w potencjalną energię grawitacji co możemy zapisać w postaci równania

(10.6)

Rozwiązując ostatnie dwa równania otrzymujemy

(10.7)

Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M aby móc wyznaczyć prędkość pocisku v.

Ćwiczenie
Sprawdź jaka część początkowej energii zostaje zachowana w tym zderzeniu. Przyjmij masę pocisku m = 5 g, a masę klocka M = 2 kg. Sprawdź  obliczenia i  wynik.

Symulacje komputerowe
Korzystając z załączonego programu możesz prześledzić wynik zderzenia dwu kul poruszających się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenia centralne – jednowymiarowe) w zależności od ich prędkości początkowych jak i ich masy oraz współczynnika restytucji wyrażającego stosunek prędkości względnych ciał po zderzeniu i przed zderzeniem. Dla zderzen sprężystych współczynnik ten ma wartość 1, a dla zderzen całkowicie niesprężystych 0. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.