11. Ruch obrotowy

Obliczanie momentu bezwładności - przykład

  Jako przykład obliczymy moment bezwładności pręta o masie M i długości d pokazanego na rysunku poniżej. Oś obrotu przechodzi przez środek pręta i jest do niego prostopadła (linia przerywana).

 Rys. 1. Pręt o masie M i długości d obracający się względem osi przechodzącej przez środek pręta (linia przerywana)

Najpierw, pręt dzielimy umownie na "nieskończenie małe" elementy o masie dm i długości dx, które możemy traktować jak punkty materialne (patrz rysunek). Moment bezwładności takiego elementu wynosi x2 dm, a moment bezwładności całego pręta jest, zgodnie z definicją (11.14), sumą (całką) momentów bezwładności poszczególnych elementów

(1)

gdzie całkowanie przebiega po całej długości pręta tj. w granicach od -d/2 do d/2.

Zakładając, że pręt ma stałą gęstość to masę dm możemy wyrazić z prostej proporcji jako

(2)

Podstawiając tę zależność do wzoru na moment bezwładności i wykonując całkowanie otrzymujemy

(3)