11. Ruch obrotowy

11.2 Dynamika ruchu obrotowego

  Jak wynika z naszego codziennego doświadczenia w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłożona. Na przykład, drzwi najłatwiej jest otworzyć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym do płaszczyzny drzwi. Siła przyłożona wzdłuż płaszczyzny drzwi jak i siła przyłożona w miejscu zawiasów nie pozwalają na ich obrót.
Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) τ. Jeżeli siła F jest przyłożona w pewnym punkcie to moment siły τ względem tego punktu jest definiowany jako

Definicja

(11.5)

gdzie wektor r  reprezentuje położenie punktu względem wybranego inercjalnego układu odniesienia.

Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi (iloczyn wektorowy)

(11.6)

Wielkość r nazywamy ramieniem siły . Z równania (11.6) wynika, że tylko składowa siły prostopadła do ramienia wpływa na moment siły.

Moment pędu

Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako

Definicja

(11.7)

gdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego położenie względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi

(11.8)

Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Żeby ją wyprowadzić zróżniczkujmy obie strony równania (11.7)

(11.9)

Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z definicją (11.5) wypadkowym momentem siły. Otrzymujemy więc

(11.10)

Prawo, zasada, twierdzenie
Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny jest równy prędkości zmian momentu pędu.

To jest sformułowanie drugiej zasadę dynamiki ruchu obrotowego. Równanie (11.10) jest analogiczne do równania (4.6) dla ruchu postępowego. Analogicznie możemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego

Prawo, zasada, twierdzenie
Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.

oraz trzecią zasadę dynamiki ruchu obrotowego

Prawo, zasada, twierdzenie
Jeżeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siła z jakim działa ciało drugie na ciało pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa na drugie.

Zachowanie momentu pędu

Dla układu n cząstek możemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty materialne

(11.11)

gdzie L oznacza teraz całkowity moment pędu układu. Zauważmy, że

Prawo, zasada, twierdzenie
Jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub wypadkowy moment sił zewnętrznych jest równy zeru) to całkowity moment pędu układu pozostaje stały.

Zależność powyższa wyraża zasadę zachowania momentu pędu.

  lub  

(11.12)

Ćwiczenie
Rozpatrzmy teraz następujący przykład. Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F2 = 5 N. Z jaką siłą F1 łańcuch ciągnie zębatkę jeżeli stosunek R/r = 10? Sprawdź obliczenia i wynik.