11. Ruch obrotowy

11.3 Dynamika bryły sztywnej

   Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne. Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową ω wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy. Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową ω to punkty znajdujące się w różnych odległościach od osi obrotu mają różną prędkość liniową v (rysunek 11.3). Prędkość i -tego punktu o masie Δmi wynosi vi = ri ω gdzie ri jest odległością od osi obrotu

 Rys. 11.3. Obracająca się bryła sztywna

Obliczamy teraz wartość momentu pędu L tego ciała

(11.13)

Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako

Definicja

(11.14)

a dla ciągłego rozkładu masy

Definicja

(11.15)

Zwróćmy uwagę, że moment bezwładności I zależy od osi obrotu. Możemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności

(11.16)

a ponieważ zgodnie z równaniem (11.10) więc

(11.17)

gdzie α jest przyspieszeniem kątowym. Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała

(11.18)

więc

(11.19)

Zestawmy teraz odpowiednie wielkości obliczone dla ruchu obrotowego z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.

Tab. 11.2. Porównanie ruchu postępowego i obrotowego

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Z tego porównania widać, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Zwróćmy uwagę, że w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych są podane w tabeli 11.3.

Tab. 11.3. Momenty bezwładności wybranych ciał sztywnych

Obiekt Moment bezwładności I
Obręcz, pierścień o promieniu R, względem osi obręczy

Krążek, walec względem osi walca

Pręt o długości d, względem osi symetrii prostopadłej do pręta

Pełna kula o promieniu R, względem średnicy

Czasza kulista o promieniu R, względem średnicy

 Więcej o ...  obliczaniu momentów bezwładności.

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności Iśr.m. tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej. Związek ten wyraża się zależnością

Prawo, zasada, twierdzenie

(11.20)

gdzie a jest odległością między osiami, a M jest masą ciała.

Ćwiczenie
Teraz korzystając z powyższego twierdzenia i z danych w tabeli 11.3 oblicz moment bezwładności pręta o masie M i długości d względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jeden z jego końców. Sprawdź obliczenia i wynik.