12. Ruch drgający

Równanie ruchu harmonicznego tłumionego

  Spróbujemy opisać ruch harmoniczny tłumiony jako złożenie ruchu wywołanego siłą harmoniczna i ruchu, w którym działa wyłącznie siła tłumiąca. Gdy na ciało o masie m działała tylko siła harmoniczna to ciało wykonuje drgania swobodne o częstotliwości ω0, które można opisać równaniem

(1)

Teraz rozpatrzymy ruch pod wpływem siły tłumiącej. Przykładem może być pojazd utrzymujący stałą prędkością dzięki sile napędu. Z chwilą wyłączenia napędu pojazd porusza się dalej hamując pod wpływem siły oporu. Gdy na ciało o masie m działała tylko siła oporu to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

(2)

lub

(3)

Jeżeli wprowadzimy nową stałą (o wymiarze czasu) to powyższe równanie przyjmie postać

(4)

lub

(5)

Powyższe równanie różniczkowe zawiera dwie zmienne v oraz t. Ponieważ zmienne te są rozdzielone (występują po różnych stronach równania) równanie może być łatwo rozwiązane poprzez obustronne scałkowanie.

(6)

Granice całkowania odpowiadają zmniejszaniu prędkości od wartości początkowej v0 do v w czasie t. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy

(7)

a po przekształceniu

(8)

Widać, że prędkość maleje wykładniczo z czasem. Inaczej mówiąc prędkość jest tłumiona ze stałą czasową τ (rysunek poniżej).

 Rys. 1 Zależność prędkości od czasu w ruchu tłumionym

Widzimy, że gdy uwzględnimy zarówno siłę harmoniczną jak i siłę tłumienia (oporu) to rozwiązanie równania ruchu może zawierać czynnik oscylacyjny opisujący drgania i czynnik tłumiący opisujący wykładnicze zmniejszanie się amplitudy drgań.