Oscylator harmoniczny tłumionyRównanie ruchu harmonicznego tłumionego
Spróbujemy opisać ruch harmoniczny tłumiony jako złożenie ruchu wywołanego siłą harmoniczna i ruchu, w którym działa wyłącznie siła tłumiąca. Gdy na ciało o masie m działała tylko siła harmoniczna to ciało wykonuje drgania swobodne o częstotliwości ω0, które można opisać równaniem
|
(1) |
Teraz rozpatrzymy ruch pod wpływem siły tłumiącej. Przykładem może być pojazd utrzymujący stałą prędkością dzięki sile napędu. Z chwilą wyłączenia napędu pojazd porusza się dalej hamując pod wpływem siły oporu. Gdy na ciało o masie m działała tylko siła oporu to zgodnie z drugą zasadą dynamiki
|
(2) |
|
(3) |
Jeżeli wprowadzimy nową stałą 
(o wymiarze czasu)
to powyższe równanie przyjmie postać
|
(4) |
|
(5) |
Powyższe równanie różniczkowe zawiera dwie zmienne v oraz t. Ponieważ zmienne te są rozdzielone (występują po różnych stronach równania) równanie może być łatwo rozwiązane poprzez obustronne scałkowanie.
|
(6) |
Granice całkowania odpowiadają zmniejszaniu prędkości od wartości początkowej v0 do v w czasie t. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy
|
(7) |
a po przekształceniu
|
(8) |
Widać, że prędkość maleje wykładniczo z czasem. Inaczej mówiąc prędkość
jest tłumiona ze stałą czasową 
τ (rysunek poniżej).
Rys. 1 Zależność prędkości od czasu w ruchu tłumionym
Widzimy, że gdy uwzględnimy zarówno siłę harmoniczną jak i siłę tłumienia (oporu) to rozwiązanie równania ruchu może zawierać czynnik oscylacyjny opisujący drgania i czynnik tłumiący opisujący wykładnicze zmniejszanie się amplitudy drgań.