12. Ruch drgający

12.3 Energia ruchu harmonicznego prostego

  Energię potencjalną sprężyny obliczyliśmy w rozdziale 7.2 przy okazji dyskusji o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna sprężyny rozciągniętej o x wynosi

(12.19)

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, to energia potencjalna układu

(12.20)

jest zarazem energią całkowitą (energia kinetyczna Ek = 0). Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zmieniać się w energię kinetyczną masy m. Przy założeniu, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii suma energii kinetycznej i potencjalnej musi się równać energii całkowitej w dowolnej chwili ruchu

(12.21)

Korzystając z wyrażeń (12.2) i (12.4) na x(t) i v(t) oraz pamiętając, że mω2 = k otrzymujemy

(12.22)

Przykład

Spróbujmy teraz obliczyć jaki jest stosunek energii potencjalnej do energii kinetycznej ciała wykonującego drgania harmoniczne, gdy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi.

Dla danego wychylenia ciała x = A/2 możemy korzystając ze wzoru (12.19) wyliczyć energię potencjalną 

(12.23)

Ponieważ energia całkowita E

(12.24)

więc podstawiając obliczoną wartość energii potencjalnej (12.23) otrzymujemy energię kinetyczną

(12.25)

Stąd

(12.26)

Widać, że dla x = A/2 energia kinetyczna jest trzykrotnie większa od potencjalnej.

Ćwiczenie
Oblicz, dla jakiego wychylenia x energie kinetyczna i potencjalna są sobie równe? Sprawdź obliczenia i wynik.

Symulacje komputerowe
Korzystając z załączonego programu możesz prześledzić możesz prześledzić jak zmieniaja się energia kinetyczna, potencjalna i całkowita w ruchu drgającym. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.