12. Ruch drgający

12.4 Oscylator harmoniczny tłumiony

  Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora to znaczy strat energii układu oscylatora. W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą ruch cząstki są tak zwane opory ruchu. Przykładem może tu być opór powietrza.  Więcej o ...  Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości Foporu ~ v

(12.27)

Jeżeli oprócz siły sprężystości uwzględnimy siłę hamującą to równanie opisujące ruch oscylatora harmonicznego przyjmie teraz postać

(12.28)

lub korzystając z równań (3.1)

(12.29)

Jeżeli wprowadzimy nową stałą (o wymiarze czasu) tak zwaną stałą czasową oraz oznaczymy częstość drgań nietłumionych czyli częstość własną  to równanie opisujące ruch przyjmie postać

(12.30)

Szukamy rozwiązania tego równania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych na przykład

(12.31)

Proponowane rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny cosωt opisujący drgania i czynnik tłumiący opisujący zmniejszanie się amplitudy drgań. Współczynnik określający wielkość tłumienia nazywamy współczynnikiem tłumienia .  Więcej o ...  rozwiązaniu równania ruchu drgającego tłumionego.

Żeby sprawdzić czy zaproponowana funkcja jest rozwiązaniem równania ruchu (12.31) obliczamy odpowiednie pochodne i podstawiamy je do równania ruchu. W wyniku otrzymujemy warunek na częstość drgań tłumionych

(12.32)

Funkcja (12.31) jest rozwiązaniem równania opisującego ruch harmoniczny tłumiony przy warunku (12.32). Widzimy, że opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość drgań, czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia β (lub stała czasowa τ). Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu jest pokazany na rysunku 12.5.

 Rys. 12.5. Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym.
Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu

Równanie (12.31) opisuje sytuację, w której pomimo strat energii zachowany zostaje oscylacyjny charakter ruchu. Ma to miejsce tylko wtedy gdy spełniony jest warunek β <  ω0 to znaczy dla słabego tłumienia. Tylko wtedy równanie (12.32) opisuje częstotliwość drgań. Jednak gdy tłumienie (opór) stanie się dostatecznie duże ruch przestaje być ruchem drgającym, a ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymptotycznie tzw. ruchem pełzającym (aperiodycznym), a równanie (12.31) nie jest już rozwiązaniem równania ruchu. Odpowiada to warunkowi β > ω0 co w praktyce oznacza, że siła tłumiąca jest bardzo duża. Dzieje się tak na przykład gdy ruch odbywa się w bardzo gęstym ośrodku. Szczególny przypadek odpowiada sytuacji gdy β = ω0 Mówimy wtedy o tłumieniu krytycznym . Wykresy ruchu tłumionego krytycznie i ruchu pełzającego są pokazane na rysunku 12.6 poniżej.

 Rys. 12.6. Ruch pełzający β > ω0 i tłumiony krytycznie β = ω0

Symulacje komputerowe
Korzystając z załączonego programu możesz prześledzić drgania tłumione wahadła matematycznego w zależności od współczynnika tłumienia β. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.

Straty mocy, współczynnik dobroci

Straty energii wynikające z tłumienia opisuje się za pomocą tzw. współczynnika dobroci Q , który jest definiowany jako

Definicja

(12.33)

gdzie P jest średnią stratą mocy, f częstotliwością drgań. Kilka typowych wartości Q zestawiono w tabeli 12.1.

Tab. 12.1. Współczynnik dobroci Q

Oscylator Q
Ziemia dla fali sejsmicznej

250-400

Struna fortepianu lub skrzypiec

1000

Atom wzbudzony

107

Jądro wzbudzone

1012