12. Ruch drgający

12.5 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego

   W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t) przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci

(12.34)

Zwróćmy uwagę na to, że siła wymuszająca działa przez cały czas i nie należy jej mylić z krótkotrwałymi impulsami takimi jakie na przykład stosujemy gdy chcemy podtrzymać wahania huśtawki popychając ją raz na jakiś czas. Jeżeli uwzględnimy siłę wymuszającą to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

(12.35)

lub korzystając z równań (3.1)

(12.36)

Po podstawieniu wyrażenia na siłę wymuszającą (12.34) i wprowadzeniu nowych stałych

(12.37)

otrzymujemy równanie analogiczne do równania (12.30) dla ruchu tłumionego

(12.38)

Ponownieω0 jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a τ stałą czasową związaną ze współczynnikiem tłumienia β relacją . Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością ω różną od częstości własnej ω0.

Prawo, zasada, twierdzenie
Drgania (wymuszone) odbywają się z częstością siły zewnętrznej, a nie z częstością własną.

W równaniu (12.38) mamy dwie wielkości okresowo zmienne: położenie x(t) oraz siłę wymuszającą F(t). W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową (rysunek 12.7).

 Rys. 12.7. Złożenie dwóch funkcji okresowych

(12.39)

Szukamy więc rozwiązania równania (12.38) w postaci

(12.40)

Jak widać z porównania równania (12.34) i powyższego równania (12.40) przesunięcie fazowe φ  mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły (czyli o ile są przesunięte względem siebie funkcje sinus opisujące wychylenie (12.40) i siłę (12.34)).

Żeby znaleźć rozwiązanie musimy wyznaczyć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe φ. W tym celu obliczamy odpowiednie pochodne funkcji (12.40) i podstawiamy do równania (12.38).  Więcej o ...  wyznaczeniu A oraz φ.
W wyniku otrzymujemy warunek na przesunięcie fazowe

(12.41)

i wyznaczamy amplitudę

(12.42)

Łącząc powyższe wzory otrzymujemy rozwiązanie

(12.43)

Równanie wygląda skomplikowanie ale pamiętajmy, że jest to rozwiązanie postaci .

Rezonans

Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością ω siły wymuszającej to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą ω, a częstością własną ω0. W szczególności gdy częstość siły wymuszającej osiągnie odpowiednią częstotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej. To zjawisko nazywamy rezonansem . Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej pokazany jest na rysunku 12.8 poniżej dla różnych wartości współczynnika tłumienia β.

 Rys. 12.8. Krzywe rezonansu dla różnych wartości współczynnika tłumienia β (β0 <  β1 <  β2 <  β3 < β4)

Liniami przerywanymi zaznaczono częstości rezonansowe to jest wartości częstości siły wymuszającej, dla której amplituda drgań jest maksymalna. Odpowiadająca jej amplituda nazywana jest amplitudą rezonansową . Częstość rezonansową ωr i amplitudę rezonansową Ar możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań danej wzorem (12.42). Funkcja A(ω) osiąga maksimum dla częstości rezonansowej ωr.

(12.44)

Podstawiając tę wartość do wzoru na amplitudę otrzymujemy wyrażenie na amplitudę rezonansową Ar

(12.45)

Widzimy, że dla drgań swobodnych, nietłumionych (β→0) częstość rezonansowa ωr  jest równa częstości drgań swobodnych ω0, a amplituda rezonansowa Ar. W miarę wzrostu tłumienia wartość amplitudy rezonansowej Ar maleje, a częstość rezonansowa przesuwa się w stronę częstości mniejszych od ω0. Dla bardzo dużego tłumienia rezonans nie występuje, maksymalna amplituda występuje dla częstości bliskiej zeru.

Dla drgań swobodnych, dla których ωr  = ω0 przesunięcie fazowe pomiędzy siłą, a wychyleniem, dane równaniem (12.41) jest równe φπ/2. Oznacza to, że siła wymuszająca nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zależy od prędkości

(12.46)

Warunek uzyskania rezonansu odpowiada maksimum mocy pochłanianej przez oscylator. Trzeba więc, zgodnie z powyższym wzorem, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o π/2.  Więcej o ...  mocy absorbowanej przez oscylator.

Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań na przykład z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.