13. Fale w ośrodkach sprężystych

Prędkość fal w naprężonym sznurze (strunie)

  Spróbujmy wyprowadzić wzór na zależność prędkości v fali od siły F naprężającej sznur i od μ = m/l tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości dx pokazany na rysunku 1.

 Rys. 1. Element sznura o długości dx.

Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe kąty θ1 i θ2. Dla małych kątów θ ≈  sinθ ≈ dy/dx. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wynosi

(1)

Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka dm = μdx i jego przyspieszenia. Stąd

(2)

lub

(3)

Uwzględniając, że otrzymujemy

(4)

Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne równania fali harmonicznej

(5)

oraz

(3)

W wyniku podstawienia do równania (4) otrzymujemy

(7)

Stąd możemy już obliczyć prędkość fali

(8)

W ten sposób pokazaliśmy również, że zaproponowana przez nas funkcja (13.8) jest rozwiązaniem równania falowego (4) jeżeli spełniona jest zależność (7). Zwróćmy ponadto uwagę, że fala harmoniczna jest przenoszona wzdłuż struny z prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości.
Przepiszmy teraz równanie falowe z uwzględnieniem zależności (8)

(9)

Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal.