13. Fale w ośrodkach sprężystych

13.2 Rozchodzenie się fal w przestrzeni

  Rozważmy rozchodzenie się impulsu falowego (fali) wzdłuż długiego naprężonego sznura w kierunku x jak na rysunku-animacji poniżej.

Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.

 Rys. 13.7. Impuls falowy


Przyjmijmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją

(13.1)

gdzie y jest poprzecznym wychyleniem sznura w jego punkcie x.

W czasie t impuls falowy (fala) poruszający się z prędkością v przesuwa się o odcinek równy vt wzdłuż sznura to jest wzdłuż osi x, bez zmiany kształtu. Zatem po czasie t równanie opisujące kształt sznura ma postać

(13.2)

Równanie (13.2) opisuje falę biegnącą w kierunku dodatnim osi x (w prawo) o kształcie danym właśnie przez funkcję f(x,t). Zauważmy, że kształt jest taki sam w chwili t w punkcie x = vt jaki był w chwili t = 0 w punkcie x = 0 (argument funkcji ma tę samą wartość równą zeru). Zatem równanie opisujące falę biegnącą w kierunku ujemnym osi x (w lewo) będzie miało postać

(13.3)

Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x) opisujące kształt sznura w danej chwili, a dla danego miejsca sznura x mamy równanie f(t) opisujące poprzeczne drgania cząstki sznura w punkcie x.

Z równań (13.1) i (13.2) wynika, że dowolna funkcja zmiennejx  − vt lub x + vt opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo, jednak do opisania rzeczywistej sytuacji musimy dokładnie określić postać funkcji f. Dlatego teraz zajmiemy się falą o szczególnym kształcie. Rozważać będziemy poprzeczną falę harmoniczną postaci

(13.4)

która przedstawia przenoszenie się drgań harmonicznych w kierunku x, i która pokazana jest na rysunku-animacji poniżej. Stała A (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą , a wyrażenie przedstawia fazę . Gdy mówimy o wybranej części fali to tym samym mówimy o określonej fazie.

 Rys. 13.8. Fala harmoniczna

Zauważmy, że wartość wychylenia poprzecznego y  dana wzorem (13.4) jest taka sama w punktach o współrzędnych x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ, itd. Oznacza to, że te punkty mają taką samą fazę. Wielkość λ nazywamy długością fali . Reprezentuje ona odległość między punktami o tej samej fazie na przykład między dwoma grzbietami (maksimami) tak jak na rysunku 13.9.

 Rys. 13.9. Długość fali λ

Czas, w którym fala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem T

(13.5)

stąd

(13.6)

Widzimy, że w danej chwili t taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, itd., oraz, że w danym miejscu x faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd.

Często równanie fali bieżącej (13.6) wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k i częstość kołową ω (lub częstotliwość f), które są zdefiniowane jako

(13.7)

co po podstawieniu do równania (13.6) daje

(13.8)

Prędkość fali v możemy wyrazić jako

(13.9)

Bardziej szczegółowo prędkość rozchodzenia się fal jest omówiona w następnym rozdziale.

Ćwiczenie
Teraz samodzielnie spróbuj przeanalizować następujące równanie fali poprzecznej

gdzie x i y są wyrażone w centymetrach, a t w sekundach. Porównaj to równanie z ogólnym równaniem (13.8) dla harmonicznej fali poprzecznej i wyznacz następujące wielkości: długość fali λ, częstość ω, okres T, prędkość rozchodzenia się fali (w kierunku x), maksymalną prędkość i maksymalne przyspieszenie cząstek ośrodka w ich ruchu drgającym (w kierunku y). Sprawdź obliczenia i wynik.