13. Fale w ośrodkach sprężystych

13.8 Zjawisko Dopplera

Prawo, zasada, twierdzenie
Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie częstotliwości fali z powodu ruchu obserwatora lub źródła fali.

W pracy z 1842 r, Christian Doppler  zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częstotliwość wysyłanego promieniowania) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub źródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal; my szczegółowo rozważymy je dla fal dźwiękowych. Ograniczymy się do przypadku ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich prostej.
Rozpatrzmy sytuację gdy źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością vo (względem ośrodka). Jeżeli fale o długości λ rozchodzą się z prędkością v to w czasie t dociera do nieruchomego obserwator fal. Jeżeli obserwator porusza się w kierunku źródła (wychodzi falom na przeciw) to odbiera jeszcze dodatkowo fal. W związku z tym częstotliwość ' odbierana (słyszana) przez obserwatora

(13.37)

Ostatecznie

(13.38)

Obserwator rejestruje wyższą częstotliwość niż częstotliwość źródła. Kiedy obserwator oddala się od źródła należy w powyższych wzorach zmienić znak prędkości obserwatora vo. W tym przypadku częstotliwość zmniejsza się.

Analogicznie możemy przestudiować przypadek źródła poruszającego się z prędkością vz względem nieruchomego obserwatora (i względem ośrodka). Otrzymujemy wtedy zależność

(13.39)

dla przypadku źródła zbliżającego się do obserwatora. Gdy źródło oddala się to w powyższym wzorze zmieniamy znak prędkości źródła vz. Zwróćmy uwagę, że zmiany częstotliwości zależą od tego czy porusza się źródło czy obserwator. Wzory (13.38) i (13.39) dają inny wynik dla jednakowych prędkości obserwatora i źródła. 

W sytuacji kiedy porusza się zarówno źródło jak i obserwator otrzymujemy zależność będącą połączeniem wzorów (13.39) i (13.40)

 Rys. 13.16. . Fale wysyłane przez źródło Z: (a) poruszające się z prędkością vz w stronę obserwatora O; (b) przez nieruchome źródło

(13.40)

Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się źródła i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu się. Powyższe wzory są słuszne gdy prędkości źródła i obserwatora są mniejsze od prędkości dźwięku.

Symulacje komputerowe
Korzystając z załączonego programu możesz prześledzić zjawisko Dopplera dla źródła i obserwatora poruszających się wzdłuż łączącej ich prostej. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.

Ćwiczenie
Typowym przykładem efektu Dopplera jest zmiana częstotliwości dźwięku klaksonu samochodu przejeżdżającego koło nas. Słyszymy, że klakson ma wyższy ton gdy samochód zbliża się do nas, a niższy gdy się oddala. Załóżmy, że podczas mijania nas przez samochód rejestrujemy obniżenie częstotliwości klaksonu o 15%. Na podstawie tej informacji sprawdź czy samochód nie przekroczył dozwolonej, poza obszarem zabudowanym, prędkości 90 km/h. Prędkość dźwięku przyjmij równą 340 m/s. Sprawdź obliczenia i wynik.

Zjawisko Dopplera obserwujemy również w przypadku fal elektromagnetycznych, a więc i świetlnych. Opis tego zjawiska dla światła jest inny niż dla fal dźwiękowych. Dla fal dźwiękowych otrzymaliśmy dwa wyrażenia (13.38) i (13.39) na zmianę częstotliwości fali w zależności od tego czy to źródło czy też obserwator poruszają się względem ośrodka przenoszącego drgania (powietrza). Do rozchodzenia się światła nie jest potrzebny ośrodek (światło może rozchodzić się w próżni) ponadto, zgodnie ze szczególną teorią względności Einsteina, prędkość światła nie zależy od układu odniesienia i dlatego częstotliwość fali świetlnej odbieranej przez obserwatora zależy tylko od prędkości względnej źródła światła i obserwatora. Jeżeli źródło i obserwator poruszają się wzdłuż łączącej ich prostej to

(13.41)

gdzie . W tej zależności u jest prędkością względną źródła względem odbiornika, a c prędkością światła. Dla małych wartości prędkości względnej powyższy wzór przyjmuje postać

(13.42)

Znak "+" odnosi się do wzajemnego zbliżania się źródła i obserwatora, a znak "−" do ich wzajemnego oddalania się. Zbliżaniu towarzyszy więc wzrost częstotliwości (dla światła oznacza to przesunięcie w stronę fioletu), a oddalaniu się obniżenie częstotliwości (dla światła oznacza to przesunięcie w stronę czerwieni).
Zjawisko to ma liczne zastosowania: na przykład w astronomii służy do określenia prędkości odległych świecących ciał niebieskich. Porównujemy długości fal światła wysyłanego przez pierwiastki tych obiektów z długościami fal światła wysyłanego przez takie same pierwiastki znajdujące się na Ziemi. To właśnie szczegółowe badania przesunięć ku czerwieni w widmach odległych galaktyk wykazały, że Wszechświat rozszerza się.