14. Statyka i dynamika płynów

14.2 Ciśnienie wewnątrz nieruchomego płynu

   Równanie (14.2) opisywało ciśnienie wywierane przez płyn na powierzchnię, która go ogranicza. Możemy także mówić o ciśnieniu wewnętrznym płynu. W tym celu rozpatrzmy element płynu w kształcie cienkiego dysku znajdującego się na głębokości h pod powierzchnią płynu pokazany na rysunku 14.2. Grubość dysku wynosi dh, a powierzchnia podstawy wynosi S.

 Rys. 14.2. Siły działające na element cieczy znajdujący się na głębokości

Masa takiego elementu wynosi ρSdh, a jego ciężar ρgSdh. Pamiętajmy, że siły działające na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni. Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Ponieważ płyn jest nieruchomy więc wypadkowa siła działająca na element płynu jest równa zeru. Zachowanie równowagi w kierunku pionowym wymaga aby

(14.4)

a stąd

(14.5)

Powyższe równanie pokazuje, że ciśnienie zmienia się z głębokością płynu. Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy różnicę ciśnień. Wielkość ρg nazywamy ciężarem właściwym płynu. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe) więc możemy obliczyć ciśnienie cieczy na głębokości h całkując równanie (14.5)

(14.6)

gdzie p0 jest ciśnieniem na powierzchni cieczy (h = 0). Zazwyczaj jest to ciśnienie atmosferyczne. Równanie (14.6) nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest jednakowe dla punktów o tej samej głębokości, a nie zależy od kształtu naczynia (paradoks hydrostatyczny).

Założenie o stałej gęstości ρ nie jest jednak prawdziwe dla gazów gdy mamy do czynienia ze znaczną zmianą wysokości (np. gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie i zmienia się też ρ.


Pomiar ciśnienia (barometr)

Evangelista Torricelli skonstruował w 1643 r barometr rtęciowy. Barometr Torricellego składa się z rurki wypełnionej rtęcią (ρHg = 13.6·103 kg/m3), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak na rysunku 14.3.

 Rys. 14.3. Barometr Torricellego

Ciśnienia w punktach A i B są jednakowe bo punkty te są na jednakowej wysokości. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami

(14.7)

podczas gdy

(14.8)

Ponieważ pA = pB więc

(14.9)

skąd

(14.10)

Mierząc więc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.