14. Statyka i dynamika płynów

14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa

Rozpatrzmy teraz ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy działać zmiennym ciśnieniem zewnętrznym p0 (rysunek poniżej).

 Rys. 14.4. Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn

W każdym punkcie cieczy znajdującym się na głębokości h, ciśnienie jest dane wyrażeniem (14.6). Możemy teraz powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość Δp0. Ponieważ ciecze są nieściśliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i ciśnienie teraz wynosi

(14.11)

Zjawisko to opisuje prawo Pascala, które można następująco sformułować:

Prawo, zasada, twierdzenie
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.

Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa. Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze (rysunek 14.5) i nazywa się siłą wyporu .

 Rys. 14.5. Siły wywierane przez płyn na zanurzone w nim ciało

Gdy przyjmiemy przykładowo, że w cieczy zostało zanurzone ciało w kształcie walca o powierzchni podstawy równej S (tak jak na rysunku 14.6) to wypadkowa siła działająca na to ciało jest związana z różnicą ciśnień na głębokościach h1 i h2 odpowiednio nad i pod walcem.

 Rys. 14.6. Walec o powierzchni podstawy S zanurzony w płynie

Siła wypadkowa wynosi więc

(14.12)

gdzie jest objętością walca. Z otrzymanej zależności wynika, że siła działająca na walec jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez ten walec. Zauważmy, że ta siła nie zależy od kształtu ciała, a tylko od jego objętości.

Możemy więc sformułować prawo Archimedesa

Prawo, zasada, twierdzenie
Ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu.

(14.13)

gdzie mp jest masą płynu, a ρ jego gęstością. Natomiast V jest objętością części zanurzonej ciała.

Na każde zanurzone w płynie ciało działają siła wyporu i siła ciężkości. Dla ciała o masie m i objętości V całkowicie zanurzonego w płynie wypadkowa tych dwóch sił wynosi

(14.14)

gdzie ρ jest gęstością płynu, a ρ1 średnią gęstością ciała. Widzimy, że zwrot siły wypadkowej zależy od różnicy gęstości płynu i ciała. Na przykład ciało zanurzone w cieczy o gęstości ρ < ρ1 tonie, a dla gęstości ρ > ρ1 pływa częściowo zanurzone.

Ćwiczenie
Korzystając z tego prawa spróbuj samodzielnie obliczyć jak duży ciężar można przeprawić przez rzekę za pomocą tratwy zbudowanej z 10 okrągłych kłód drewnianych o średnicy 20 cm i długości 3 m każda. Gęstość drewna przyjmij równą 750 kg/m3, a gęstość wody 1000 kg/m3. Sprawdź obliczenia i wynik.