14. Statyka i dynamika płynów

14.4 Ogólny opis przepływu płynów

   Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu czyli zajmiemy się dynamiką płynów. Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu. Możemy albo zająć się opisem ruchu poszczególnych cząsteczek płynu albo opisywać gęstość płynu i jego prędkość w każdym punkcie przestrzeni w funkcji czasu. Oznacza to, że koncentrujemy się na wybranym punkcie przestrzeni, w którym definiujemy funkcje ρ(x,y,z,t) oraz v(x,y,z,t).

Na wstępie poznamy ogólne pojęcia charakteryzujące przepływ:

W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich.

W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Oznacza to, że każda cząstka przechodząca przez dowolny punkt ma taką samą prędkość np. v1. Tak samo jest w kolejnym punkcie gdzie każda cząstka ma prędkość v2. Dotyczy to wszystkich punktów. Oznacza to, że wystarczy prześledzić tor jednej cząstki, a będziemy znali tor każdej cząstki przechodzącej przez dany punkt. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu (rysunek 14.7). Linia prądu jest równoległa do prędkości płynu. Żadne linie prądu nie mogą się przecinać bo istniałaby niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (przepływ nie byłby ustalony).

 Rys. 14.7. Linie prądu

Jeżeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu to taką wiązkę nazywamy strugą prądu . Brzegi składają się z linii prądu, a ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości więc płyn nie przepływa przez brzegi strugi. Płyn wchodzący jednym końcem strugi musi opuścić ją drugim tak jak w rurce. Na rysunku 14.8 prędkość cząstek w punkcie P1 wynosi v1, a pole przekroju strugi S1. W punkcie P2 mamy odpowiednio prędkość v2 i pole przekroju S2.

 Rys. 14.8. Struga prądu

W czasie Δt cząstka płynu przebywa odległość równą vΔt. Masa płynu przechodzącego przez S1 w czasie Δt wynosi

(14.15)

gdzie S1v1Δt stanowi objętość elementu płynu. Analogicznie masa płynu przepływającego przez powierzchnię S2 w czasie Δt jest równa

(14.16)

Ponieważ płyn jest nieściśliwy więc jego gęstość jest taka sama w punkcie P1 i P2. Ponadto między tymi punktami płyn nie może opuścić strugi więc strumienie mas przepływające przez obie powierzchnie muszą być sobie równe. Zatem

(14.17)

lub

(14.18)

Otrzymany związek nosi nazwę równania ciągłości. Wynika z niego, że

Prawo, zasada, twierdzenie
Prędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju strugi.

Linie prądu muszą się zagęszczać w węższej części, a rozrzedzać w szerszej. To znaczy, rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości.