16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II

16.1 Średnia droga swobodna

  Nasze dotychczasowe rozważania dotyczyły gazu doskonałego. Takie uniwersalne podejście jest wygodne, ale musimy mieć świadomość, że daje tylko przybliżony opis rzeczywistych gazów. Teraz spróbujemy omówić niektóre istotne właściwości gazu rzeczywistego. Zwróćmy na przykład uwagę na to, że gdyby cząsteczki były punktowe to nie zderzałyby się w ogóle ze sobą. Tak więc w opisie zderzeń musimy uwzględnić skończone wymiary cząsteczek. Będziemy teraz traktować cząsteczki jako kuleczki o średnicy d. Oznacza to, że zderzenie pomiędzy cząsteczkami będzie miało miejsce gdy odległość między ich środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka zachowuje się jak tarcza o efektywnej powierzchni

(16.1)

Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego .

W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v przemiata objętość walca równą vts. Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to na swej drodze (w tym walcu) nasza cząstka napotka nz innych cząsteczek

(16.2)

Tym samym otrzymaliśmy liczbę zderzeń, których doznaje cząsteczka w czasie t. Widać, że zależy ona od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości. Wprowadzimy teraz pojęcie średniej drogi swobodnej .

Definicja
Średnią drogę swobodną definiujemy jako średnią odległość przemywaną przez cząsteczkę pomiędzy kolejnymi zderzeniami.

Ta odległość jest równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez liczbę zderzeń (rysunek 16.1)

(16.3)

 Rys. 16.1. Przykładowa droga, po której porusza się cząsteczka gazu zderzająca się z innymi cząsteczkami

Równanie (16.3) wyprowadziliśmy przy założeniu, że cząstka zderza się z innymi nieruchomymi cząsteczkami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w inne też poruszające się cząsteczki. Rzeczywista częstość zderzeń jest więc większa, a średnia droga swobodna mniejsza

(16.4)

Ta różnica we wzorach wynika z tego, że w poprzednim równaniu (16.3) występujące tam dwie prędkości są różne: prędkość w liczniku to prędkość średnia cząsteczek względem naczynia, a prędkość w mianowniku to średnia prędkość względna w stosunku do innych cząsteczek. Można się przekonać jakościowo, że te prędkości są różne. Na przykład, gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to mają względną prędkość równą , gdy pod kątem prostym to równą , a gdy w tę samą stronę to względna prędkość jest równa zeru.  Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości otrzymujemy .

Przykład

Spróbujmy teraz oszacować jaka jest typowa średnia droga swobodna i jak często cząstki zderzają się ze sobą. W tym celu rozpatrzmy cząstki powietrza w temperaturze 300 K (27 °C) i pod ciśnieniem 1 atm. Przyjmijmy średnicę cząsteczek równą d = 2·10−8 cm. W tych warunkach jeden mol powietrza zajmuje około 22.4 dm3, a ponieważ w molu znajduje się NAv = 6.023·1023 cząsteczek to ich koncentracja wynosi n = 2.7·1019/cm3. Korzystając z równania (16.4) otrzymujemy średnią drogę swobodną równą = 2.1·10−5 cm, co stanowi około tysiąca średnic cząsteczkowych (1000d). Częstość zderzeń obliczamy dzieląc średnią prędkość cząsteczek przez średnią drogę swobodną

(16.5)

Do naszych celów posłużymy się wartością prędkości średniej kwadratowej (vśr. kw. = 483 m/s) obliczonej w ćwiczeniu w rozdziale 15.1.  Odpowiednia częstość zderzeń wynosi = 2.3·109/s. Średnio każda cząstka zderza się w ciągu sekundy ponad 2 miliardy razy!  Właśnie dzięki tak dużej liczbie zderzeń ogólny rozkład prędkości nie zmienia się.