18. Prawo Gaussa

18.1 Strumień pola elektrycznego

  Z podanych w poprzednim paragrafie przykładów widać, że obliczanie pól elektrostatycznych metodą superpozycji może być skomplikowane matematycznie. Istnieje jednak inny, prostszy sposobu obliczania pól, który opiera się na wykorzystaniu prawa Gaussa. Żeby móc z niego skorzystać poznamy najpierw pojęcie strumienia pola elektrycznego .

Definicja
Strumień ϕ pola elektrycznego przez powierzchnię S definiujemy jako iloczyn skalarny wektora powierzchni S i natężenia pola elektrycznego E.

(18.1)

gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni S (przypomnij sobie definicję wektora powierzchni z wykładu 14.1 w module 4) i wektorem E. Zmiany strumienia pola w zależności od kąta pomiędzy powierzchnią i wektorem pola możesz prześledzić na rysunku-animacji poniżej.

Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.

 Rys. 18.1. Strumień pola elektrycznego E przez powierzchnię S

Jeżeli wektor natężenia pola E, w różnych punktach powierzchni S, ma różną wartość i przecina tę powierzchnię pod różnymi kątami (rysunek 18.2) to wówczas dzielimy powierzchnię na małe elementy dS i obliczamy iloczyn skalarny wektora powierzchni dS i lokalnego natężenia pola elektrycznego.

(18.2)

 Rys. 18.2. Strumień pola E przez elementarną powierzchnię dS definiujemy jako iloczyn dϕ = E·dS

Całkowity strumień przechodzący przez rozciągłą powierzchnię S obliczamy jako sumę przyczynków dla elementarnych powierzchni dS

(18.3)

Suma ta przedstawia całkę powierzchniową

(18.4)

W praktyce najczęściej oblicza się strumień przez powierzchnię zamkniętą.

Teraz obliczmy strumień dla ładunku punktowego Q w odległości r od niego. W tym celu rysujemy sferę o promieniu r wokół ładunku Q (rysunek 18.3) i liczymy strumień przechodzących przez tę powierzchnię.

 Rys. 18.3. Strumień pola elektrycznego przez zamkniętą sferyczną powierzchnię

Pole E ma jednakową wartość w każdym punkcie sfery i jest prostopadłe do powierzchni (równoległe do wektora powierzchni dS) więc w każdym punkcie α = 0 i całkowity strumień wynosi

(18.5)

Otrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r. Całkowity strumień pola E wytworzonego przez ładunek Q jest równy
Q /ε0.

Pokazaliśmy, że strumień jest niezależny od r. Można również pokazać  Więcej o ... , że strumień jest taki sam dla każdej zamkniętej powierzchni (o dowolnym kształcie), która otacza ładunek Q. Wybór powierzchni w kształcie sfery, w powyższym przykładzie, był podyktowany symetrią układu i pozwolił najłatwiej wykonać odpowiednie obliczenia.

Taką całkowicie zamkniętą powierzchnię nazywamy powierzchnią Gaussa .