18. Prawo Gaussa

18.3 Przykłady zastosowania prawa Gaussa I

Izolowany przewodnik

Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W przewodnikach ładunki elektryczne mogą się swobodnie poruszać natomiast w izolatorach (zwanych także dielektrykami) ładunki pozostają nieruchome. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej jego objętości. Natomiast gdy w przewodniku rozmieścimy ładunek w sposób przypadkowy to będzie on wytwarzał pole elektryczne przemieszczające swobodne elektrony na powierzchnię przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole wewnątrz przewodnika. Wtedy na ładunki nie działa już siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku. Sprawdźmy to rozumowanie posługując się prawem Gaussa. W tym celu rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybieramy powierzchnię zamkniętą S tuż poniżej powierzchni przewodnika tak jak na rys.18.5.

 Rys. 18.5. Powierzchnia Gaussa S leżąca tuż pod powierzchnią przewodnika

Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni. Ponieważ wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elektrony poruszałyby się, to otrzymujemy

(18.9)

Zatem



(18.10)

Tak więc pokazaliśmy, że ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni przewodnika musi być równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni przewodnika.

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera

Rozpatrzmy powierzchnię kulistą o promieniu R jednorodnie naładowaną ładunkiem Q. Chcemy obliczyć pole E w odległości r od jej środka na zewnątrz (r > R). W tym celu wybieramy powierzchnię Gaussa S w kształcie sfery o promieniu r pokazanej na rysunku 18.6.

 Rys. 18.6. Jednorodnie naładowana sfera o promieniu R

Ponieważ w dowolnym punkcie powierzchni Gaussa pole E ma tę samą wartość i jest prostopadłe do powierzchni więc

(18.11)

Zatem zgodnie z  prawem Gaussa otrzymujemy

(18.12)

lub

(18.13)

Widzimy, że na zewnątrz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery. Natomiast wewnątrz sfery (r < R ) Qwewn. = 0 więc Ewewn. = 0.

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula

Jednorodnie w całej objętości możemy naładować jedynie kulę z izolatora bo w przewodniku cały ładunek gromadzi się na powierzchni. Taka kula może być rozpatrywana z zewnątrz jako szereg współśrodkowych powłok kulistych (opisanych powyżej). Tak więc pole elektryczne na zewnątrz kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q, w odległości r od jej środka (r > R ) jest dane wzorem (18.13). Pozostaje więc nam obliczenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie wewnątrz kuli czyli w odległości r < R. Na rysunku 18.7 pokazana jest taka kula i wybrana powierzchnia Gaussa S.

 Rys. 18.7. Kula naładowana jednorodnie ładunkiem Q

Zgodnie z równaniem (18.13) pole elektryczne na powierzchni Gaussa jest równe

(18.14)

gdzie Qwewn. jest ładunkiem wewnątrz powierzchni Gaussa. Ponieważ kula jest naładowana równomiernie to

(18.15)

(stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R).

Ostatecznie otrzymujemy dla r < R

(18.16)

lub

(18.17)

Wykres natężenia pola E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany na rysunku 18.8.

 Rys. 18.8. Zależność pola E od odległości od środka naładowanej kuli o promieniu R


W dalszej części omówione są liniowe i powierzchniowe rozkłady ładunków.