20. Kondensatory i dielektryki

Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe

  Rozpatrzmy atom umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E. Wówczas na atom działa siła, która przesuwa chmurę elektronową o r względem jądra atomowego (rysunek 1).

 Rys. 1. Sferyczna chmura elektronowa przesunięta zewnętrznym polem elektrycznym względem jądra atomu na odległość r

Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy p, a wypadkowe pole elektryczne w miejscu jądra jest sumą pola zewnętrznego i pola od chmury elektronowej

(1)

Jeżeli potraktujemy, w naszym uproszczonym modelu, chmurę elektronową jako jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R to pole elektryczne wytworzone przez chmurę elektronową w odległości r (r < R) od jej środka jest dane wzorem (18.17)

(2)

Ponieważ jądro znajduje się w położeniu równowagi (nie przemieszcza się) więc Ewyp. = 0, skąd dostajemy

(3)

skąd

(4)

Zatem, indukowany moment dipolowy jest równy

(5)

Moment p zgodnie z oczekiwaniami jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E.

Rozpatrzmy teraz dielektryk, w którym znajduje się N atomów (cząsteczek). Jeżeli każdy atom ma średni moment dipolowy  skierowany zgodnie z zewnętrznym polem E to całkowity moment dipolowy

(6)

Z drugiej strony indukowany ładunek q'  pojawia się jedynie na powierzchni dielektryka więc dla kondensatora płaskiego,  wypełnionego dielektrykiem, którego okładki o powierzchni S są umieszczone w odległości d

(7)

Łącząc te wyrażenia otrzymujemy

(8)

lub

(9)

gdzie n koncentracją atomów (cząsteczek) tj. ilością atomów w jednostce objętości n = N/(Sd). Ostatecznie więc

(10)

Podstawiamy tę wielkość do wzoru na εr

(11)

Pokazaliśmy powyżej, że indukowany moment dipolowy p wynosi . Podstawiając do tego wzoru wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w kondensatorze płaskim (wzór 20.14) otrzymujemy

(12)

Wstawiając to wyrażenie do wzoru (11) obliczamy εr

(13)


(14)

Otrzymana zależność jest przybliżona ze względu na znaczne uproszczenia przyjętego modelu atomu jednak pokazuje, że przenikalność dielektryczna εr jest większa od jedności i że zależy od właściwości dielektryka takich jak koncentracja atomów n i promień atomu R.