23. Pole magnetyczne przewodników z prądem

23.3 Prawo Biota-Savarta

  Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole B z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie równoważne z prawem Ampère'a. Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko gdy znana jest symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki).
Gdy ta symetria nie jest znana to wówczas dzielimy przewodnik z prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie. Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor B.
Na rysunku 23.7 pokazany jest krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu I. Zaznaczony jest element dl tego przewodnika i pole dB jakie wytwarza w punkcie P.

 Rys. 23.7. Pole dB wytworzone przez element dl przewodnika

Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole dB w punkcie P wynosi

Prawo, zasada, twierdzenie

(23.15)

Wartość liczbowa dB jest więc dana równaniem

(23.16)

Przykład

Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem w punkcie P pokazanym na rysunku 23.8.

 Rys. 23.8. Kołowy przewodnik o promieniu R przewodzący prąd o natężeniu I

Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole dB pochodzące od elementu dl (położonego na szczycie okręgu)

(23.17)

Zwróćmy uwagę, że element dl jest prostopadły do r.

Pole dB można rozłożyć na dwie składowe, tak jak na rysunku. Suma wszystkich składowych dBy jest równa zeru bo dla każdego elementu przewodnika dl ta składowa znosi się z odpowiednią składową elementu leżącego po przeciwnej stronie okręgu. Wystarczy więc zsumować składowe dBx. Ponieważ

(23.18)

zatem

(23.19)

Ponadto, zgodnie z rysunkiem

(23.20)

oraz

(23.21)

Ostatecznie więc otrzymujemy

(23.22)

Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu. Wykonujemy teraz sumowanie (całkowanie), żeby obliczyć wypadkowe pole B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)

(23.23)

Ćwiczenie
Wzór (23.23) wygląda skomplikowanie ale przyjmuje znacznie prostszą postać w szczególnych punktach. Spróbuj na jego podstawie określić pole w środku koła (x = 0) oraz w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R. Jak już mówiliśmy każdy obwód z prądem jest charakteryzowany poprzez magnetyczny moment dipolowy μ = IS, gdzie S jest powierzchnią obwodu. Wyraź obliczane pole magnetyczne poprzez μ. Sprawdź obliczenia i wynik.


Ćwiczenie
Korzystając z wyliczonego pola magnetycznego w środku przewodnika kołowego oblicz pole wytwarzane w środku orbity (w miejscu jądra atomowego) przez elektron w atomie wodoru. Zgodnie z modelem Bohra elektron krąży w atomie wodoru po orbicie o promieniu R = 5·10−11 m z częstotliwością f = 6.5·1015 1/s. Porównaj obliczone pole z wartościami podanymi w tabeli 22.1. Sprawdź obliczenia i wynik.

Ten rozdział kończy moduł siódmy; możesz teraz przejść do podsumowania i zadań testowych.