25. Drgania elektromagnetyczne

25.2 Obwód szeregowy RLC

  Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu, z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w rozdziale 12 (rysunek 25.2), przy czym współczynnik tłumienia β = 1/(2τ) jest równy R/2L.

 Rys. 25.2. Tłumione oscylacje prądu w obwodzie RLC

Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać zmienną SEM ze źródła zewnętrznego włączonego do obwodu na przykład tak jak pokazano na rysunku 25.3.

 Rys. 25.3. Obwód RLC zawierający źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego

Jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

(25.12)

to prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło napięcia (SEM) ma postać

(25.13)

Różniczkując to wyrażenie obustronnie po dt (i podstawiając I = dQ/dt) otrzymujemy równanie

(25.14)

lub

(25.15)

Równanie to jest analogiczne do równania drgań wymuszonych (12.38). Możemy więc skorzystać z uzyskanych poprzednio (paragraf 12.5) wyników. Z tej analogii wynika, że rozwiązaniem równania (23.15) jest funkcja

(25.16)

Różnica faz jaka istnieje między napięciem i natężeniem prądu jest dana równaniem

(25.17)

a amplituda prądu I0 wynosi

(25.18)

Zauważmy, że to wyrażenie ma postać (prawa Ohma)  przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U0 i I0

(25.19)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy zawadą obwodu .

Zauważmy, że gdy obwód zawiera tylko kondensator i źródło sinusoidalnie zmiennego napięcia to zawada jest równa

(25.20)

Tę wielkość nazywamy opornością pojemnościową lub reaktancją pojemnościową . W takim obwodzie różnica faz pomiędzy napięciem i natężeniem prądu wynosi π/2. Prąd "wyprzedza" napięcie na kondensatorze o π/2.

Natomiast gdyby obwód zawiera tylko cewkę i źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego to zawada jest równa

(25.21)

Tę wielkość nazywamy opornością indukcyjną lub reaktancją indukcyjną . Ponownie między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa π/2, ale teraz prąd "pozostaje" za napięciem na cewce o  π/2.

Zauważmy, że w obwodzie RLC mamy do czynienia z szeregowym połączeniem oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego (rysunek 25.3), a mimo to ich opór zastępczy (zawada) nie jest sumą algebraiczną tych oporów tak jak w przypadku łączenia szeregowego wielu oporów omowych.
Ten fakt wynika ze wspomnianych przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć i w konsekwencji przy liczeniu zawady.

 Więcej o ...  obliczaniu zawady.

Ćwiczenie
Oblicz teraz zawadę obwodu złożonego z opornika R = 10 Ω, pojemności C = 1pF oraz indukcyjności L = 3 μH połączonych szeregowo jeżeli układ jest zasilany z generatora o częstotliwości f = 100 MHz. Jaka byłaby oporność układu gdyby w obwodzie nie występowały reaktancje, a wyłącznie oporniki omowe o takich samych opornościach? Sprawdź obliczenia i wynik.