25. Drgania elektromagnetyczne

25.4 Moc w obwodzie prądu zmiennego

  O mocy wydzielanej w obwodzie prądu stałego mówiliśmy w rozdziale 21. W obwodzie prądu zmiennego moc dana jest takim samym wyrażeniem

(25.25)

ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego do obliczenia mocy posłużymy się wartościami średnimi.

Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi

(25.26)

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy

(25.27)

gdzie ponadto skorzystaliśmy z relacji .

Moc średnia jest więc dana wyrażeniem

(25.28)

Ponieważ  to  (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o π/2). Ponadto  bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna.

(25.29)

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem.

Na podstawie wzoru (25.17) i korzystając ze związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta można pokazać, że . Uwzględniając, ponadto że U0 = ZI0 możemy przekształcić wyrażenie na moc średnią do postaci

(25.30)

Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = I2R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak prądu stałego o natężeniu

Definicja

(25.31)

Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną natężenia prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartość napięcia

Definicja

(25.32)


Ćwiczenie
Mierniki prądu zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia 230 V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna. Jaka jest wartość maksymalną tego napięcia. Sprawdź obliczenia i wynik.

Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R

(25.33)

Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy.

Ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami.
Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe π/2, a ponieważ cos(π/2) = 0, to zgodnie z równaniem (25.29) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).

Ćwiczenie
Dla obwodu wejściowego radioodbiornika omówionego w ćwiczeniu w paragrafie 25.3 oblicz przesunięcie fazowe i średnią moc wydzielaną w obwodzie w przypadku rezonansu (dostrojenia do częstości f1 = 101 MHz) jak i poza rezonansem (dla częstości f2 = 96 MHz). 
W obwodzie R = 10 Ω, L = 1 μH, a pojemność, przy której uzyskano rezonans dla częstotliwości f1, wynosi C = 2.48 pF. Sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 100 μV. Sprawdź obliczenia i wynik.

Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych . W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych .