26. Równania Maxwella

Równania Maxwella w postaci różniczkowej (operatorowej)

  Istnieje kilka równoważnych sformułowań równań Maxwella. Poza, przedstawioną w paragrafie 26.4 postacią całkową, równania Maxwella często przedstawiane są postaci różniczkowej. Tę formę równań można otrzymać bezpośrednio z formy całkowej w wyniku przekształceń matematycznych w oparciu o twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa.

W paragrafie 6.4 omówiliśmy, na przykładzie sił grawitacyjnych, ważne w fizyce pojęcie pola. Analogicznie w paragrafie 17.3 zdefiniowaliśmy natężenie pola elektrycznego. W obu przypadkach mamy do czynienia z wektorowym polem sił (grawitacyjnej, elektrostatycznej). W każdym punkcie takiej przestrzeni/pola określona jest pewna funkcja wektorowa , określony jest wektor pola. Takie pole nazywamy polem wektorowym (materiały dodatkowe Modułu VI Gradient pola). Kierunek pola jest wyznaczony poprzez linie pola wektorowego, do których wektor pola jest styczny w każdym punkcie.

Skorzystamy teraz, z wprowadzonego w dodatku do Modułu VI Gradient pola), operatora wektorowego nabla do zdefiniowania operatorów dywergencji i rotacji .

Operator dywegencji to wynik iloczynu skalarnego operatora nabla i wektora pola (działanie na funkcję wektorową). W wyniku otrzymujemy pole skalarne

(1)

Dywergencja jest miarą źródłowości pola (oznacza intensywność źródła), wskazuje na lokalne źródła pola wektorowego i wiąże się z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego, które umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową

(2)

gdzie V jest obszarem (objętością) ograniczonym powierzchnią zamkniętą S.

Operator rotacji to wynik iloczynu wektorowego operatora nabla i wektora pola (działanie na funkcję wektorową). W wyniku otrzymujemy pole wektorowe

(3)

Rotacja określa obrót wektora pola, np. dla płynącej cieczy, oznacza, że mamy do czynienia z wirami. Rotacja jest miarą obecności lokalnych zawirowań pola i wiąże się z twierdzeniem Stockesa, które wiąże całkę liniową z pola wektorowego po zamkniętym konturze L z całką powierzchniową po płacie powierzchniowym S ograniczonym przez kontur L

(4)

Teraz na podstawie twierdzenia Gaussa – Ostrogradskiego zamieniamy całkę powierzchniową na całkę objętościową, a na podstawie twierdzenia Stokesa zamieniamy całkę liniową (cyrkulację) na całkę powierzchniową i przekształcamy równania Maxwella do postaci różniczkowej (operatorowej)

Równanie + Twierdzenie Równanie

+

+

+

+

gdzie ρ jest gęstością ładunku, a J gęstością prądu.