28. Optyka geometryczna i falowa

28.2 Odbicie i załamanie

Współczynnik załamania, droga optyczna, dyspersja światła

  Wiemy już, że światło rozchodzi się w próżni z prędkością c. Natomiast, jak pokazują wyniki doświadczeń, w ośrodkach materialnych prędkość światła jest mniejsza. Jeżeli w jednorodnym ośrodku światło przebędzie w czasie t drogę l1 = vt to droga l jaką w tym samym czasie światło przebyłoby w próżni wynosi

(28.1)

gdzie

(28.2)

nosi nazwę bezwzględnego współczynnika załamania . Natomiast iloczyn drogi geometrycznej l1 i współczynnika załamania n nosi nazwę drogi optycznej . Poniżej w tabeli 28.1 podane zostały bezwzględne współczynniki załamania wybranych substancji.

Tab. 28.1. Bezwzględne współczynniki załamania wybranych ośrodków (dla λ = 589 nm - żółte światło sodu)

Ośrodek Współczynnik załamania

powietrze 1.003
woda 1.33
alkohol etylowy 1.36
kwarc 1.46
szkło zwykłe 1.52
polietylen 1.52
szafir 1.77
diament 2.42

W nagłówku powyższej tabeli podano dla jakiej fali zostały wyznaczone współczynniki załamania. Jest to ważna informacja bo, jak pokazuje doświadczenie, prędkość fali przechodzącej przez ośrodek zależy od częstotliwości światła. Zjawisko to nazywamy dyspersją światła . Dla większości materiałów obserwujemy, że wraz ze wzrostem częstotliwości fali świetlnej maleje jej prędkość czyli rośnie współczynnik załamania (rys. 28.2).

Prawo odbicia i prawo załamania

  Jeżeli światło pada na granicę dwóch ośrodków to ulega zarówno odbiciu na powierzchni granicznej jak i załamaniu przy przejściu do drugiego ośrodka tak jak pokazano to na rysunku 28.2 dla powierzchni płaskiej.

Na rysunku pokazana jest też dyspersja światła; promień niebieski jest bardziej załamany niż czerwony. Światło białe, złożone z fal o wszystkich długościach z zakresu widzialnego, uległo rozszczepieniu to jest rozdzieleniu na barwy składowe. Na rysunku pokazano promienie świetlne tylko dla dwu skrajnych barw niebieskiej i czerwonej.

 Rys. 28.2. Odbicie i załamanie światła białego na granicy dwóch ośrodków (n2 > n1)

Odbiciem i załamaniem rządzą dwa następujące prawa

Prawo, zasada, twierdzenie
Prawo odbicia: Promień padający, promień odbity i normalna do powierzchni granicznej wystawiona w punkcie padania promienia leżą w jednej płaszczyźnie i kąt padania równa się kątowi odbicia α1 =  α2.


Prawo, zasada, twierdzenie
Prawo załamania: Stosunek sinusa kata padania do sinusa kąta załamania jest równy stosunkowi bezwzględnego współczynnika załamania ośrodka drugiego n2 do bezwzględnego współczynnika załamania ośrodka pierwszego n1, czyli współczynnikowi względnemu załamania światła ośrodka drugiego względem pierwszego.

(28.3)

lub

(28.4)

gdzie skorzystaliśmy z definicji bezwzględnego współczynnika załamania .

Powyższe prawa dotyczące fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie trudne. Można też skorzystać z prostej (ale ważnej) zasady odkrytej w XVII w. przez Fermata  Więcej o ... .

Z prawa załamania (wzór 28.3) wynika, że gdy promień świetlny przechodzi z ośrodka gęstszego optycznie do ośrodka rzadszego, np. z wody do powietrza, to kąt załamania promienia jest większy od kąta padania: , bo n2 < n1. Wynika stąd, że istnieje taki graniczny kąt padania αgr, przy którym kąt załamania β= 90º i promień załamany biegnie wzdłuż granicy ośrodków. Natomiast dla kąta padania α > αgr, promień nie ulega załamaniu tylko odbija się od granicy ośrodków (rysunek poniżej). Zjawisko to nosi nazwę całkowitego wewnętrznego odbicia . Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia wykorzystywane jest między innymi w pryzmatach całkowitego odbicia w aparatach fotograficznych, lornetkach oraz światłowodach.

 Rys. 28.3. Całkowite wewnętrzne odbicie na granicy dwóch ośrodków (n2 < n1)

Ćwiczenie
Spróbuj teraz prześledzić bieg promienia świetlnego padającego pod katem α na umieszczoną w powietrzu prostopadłościenną szklaną płytkę wykonaną ze szkła o współczynniku załamania n tak jak pokazano na rysunku poniżej. Korzystając z prawa załamania oblicz kąt γ pod jakim promień opuszcza płytkę. Sprawdź obliczenia i wynik.


Ćwiczenie
Podobnie jak w poprzednim ćwiczeniu, promień światła załamuje się dwukrotnie tym razem przechodzący przez równoboczny pryzmat, pokazany na rysunku poniżej. Promień biegnie początkowo równolegle do podstawy pryzmatu, a opuszcza go pod katem γ. Oblicz ten kąt wiedząc, że pryzmat jest wykonany z materiału o współczynniku załamania n = 1.5. Sprawdź obliczenia i wynik.


Omawiając odbicie i załamanie ograniczyliśmy się do fal płaskich i do płaskich powierzchni. Uzyskane wyniki stosują się jednak do bardziej ogólnego przypadku fal kulistych. Stosują się również do kulistych powierzchni odbijających - zwierciadeł kulistych i kulistych powierzchni załamujących - soczewek . Te ostatnie mają szczególne znaczenie ze względu na to, że stanowią część układu optycznego oka i wielu przyrządów optycznych takich jak np. lupa, teleskop, mikroskop.

Soczewki

Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn R1 i R2.

Nasze rozważania własności optycznych soczewek ograniczymy do soczewek cienkich tzn. takich, których grubość jest znacznie mniejsza od promieni krzywizn R1 i R2 powierzchni ograniczających soczewkę. Ponadto zakładamy, że promienie świetlne padające na soczewkę tworzą małe kąty z osią soczewki tj. prostą przechodząca przez środki krzywizn obu powierzchni. Takie promienie (prawie prostopadłe do powierzchni soczewki) leżące w pobliżu osi soczewki nazywamy promieniami przyosiowymi . Z wyjątkiem promienia biegnącego wzdłuż osi soczewki, każdy promień przechodzący przez soczewkę ulega dwukrotnemu załamaniu na obu powierzchniach soczewki.

Jeżeli przy przejściu przez soczewkę promienie równoległe do osi soczewki zostają odchylone w stronę tej osi to soczewkę nazywamy skupiającą , a jeżeli odchylają się od osi, soczewka jest rozpraszająca . Soczewka skupiająca odchyla promienie równoległe w taki sposób, że są one skupiane w punkcie F, w odległości f od soczewki. Punkt F nosi nazwę ogniska, a odległość f nazywamy ogniskową soczewki .

Na rysunku 28.3 pokazany jest sposób wyznaczania położenia obrazu przedmiotu rozciągłego (strzałki). W celu jego wyznaczenia rysujemy promień równoległy do osi soczewki. Promień ten po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F. Drugi promień przechodzi przez środek soczewki i nie zmienia swojego kierunku. Jeżeli obraz powstaje w wyniku przecięcia się tych promieni, to taki obraz nazywamy rzeczywistym (rysunek 28.3a). Natomiast gdy promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne to obraz otrzymujemy z przecięcia się promieni przedłużonych i taki obraz nazywamy pozornym (rysunek 26.3 b).

 Rys. 28.4. Powstawanie obrazu w soczewce skupiającej: a) rzeczywistego, b) pozornego

Bieg promienia świetlnego w soczewce zależy od kształtu soczewki tzn. od R1R2, od współczynnika załamania n materiału z jakiego wykonano soczewkę oraz od współczynnika załamania no ośrodka, w którym umieszczono soczewkę. Ogniskowa soczewki jest dana równaniem

(28.5)

Przy opisie soczewek przyjmujemy konwencję, że promienie krzywizn wypukłych powierzchni są wielkościami dodatnimi, a promienie krzywizn wklęsłych powierzchni są wielkościami ujemnymi; powierzchni płaskiej przypisujemy nieskończony promień krzywizny.

Gdy ogniskowa jest dodatnia f > 0 to soczewka jest skupiająca, a gdy f < 0 to soczewka jest rozpraszająca.

Odległość x przedmiotu od soczewki i odległość y obrazu od soczewki (rysunek 28.3) są powiązane równaniem dla cienkich soczewek

(28.6)

a powiększenie liniowe obrazu jest dane wyrażeniem

(28.7)

Przyjmuje się umowę, że odległości obrazów pozornych od soczewki są ujemne.

Symulacje komputerowe
Możesz prześledzić geometryczną metodę wyznaczania obrazu wytwarzanego przez soczewkę skupiającą i rozpraszającą korzystając z programu komputerowego „Soczewki”, dostępnego na stronie WWW autora i na stronie Open AGH. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.

Odwrotność ogniskowej soczewki D = 1/f nazywamy zdolnością zbierającą soczewki .

Jednostki
Jednostką zdolności zbierającej soczewki jest dioptria (D); 1 D = 1/m.

Dla układu blisko siebie leżących soczewek ich zdolności skupiające dodają się

(28.8)

Wszystkie powyżej podane związki są prawdziwe dla cienkich soczewek i dla promieni przyosiowych. Tymczasem dla soczewek w rzeczywistych układach optycznych mamy do czynienia z aberracjami tj. ze zjawiskami zniekształcającymi obrazy i pogarszającymi ich ostrość.

Przykładem takiego zjawiska jest aberracja sferyczna . Polega ona na tym, że w miarę oddalania się od osi zwierciadła promienie zaczynają odchylać się od ogniska. W ten sposób zamiast otrzymać obraz punktowy (jak dla promieni przyosiowych) otrzymujemy obraz rozciągły (plamkę). Inną wadą soczewek jest aberracja chromatyczna . Jest ona związana ze zjawiskiem dyspersji. Światło o różnych barwach (różnych częstotliwościach) ma różne prędkości, więc i różne współczynniki załamania w szkle, z którego zrobiono soczewkę. W konsekwencji różne barwy są różnie ogniskowane i obraz białego punktu jest barwny.

Te jak i jeszcze inne wady soczewek można korygować stosując zestawy soczewek oraz wykonując soczewki o odpowiednich krzywiznach i z materiału o odpowiednim współczynniku załamania.