30. Dyfrakcja

30.3 Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym

  Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i każdy z nich traktujemy jak źródło zaburzenia falowego. Zakładamy, że dla małych kątów θ zaburzenia falowe docierające do punktu P z różnych miejsc szczeliny mają jednakowe amplitudy E0. Wtedy w punkcie P dodaje się N wektorów natężenia pola elektrycznego E o tej samej amplitudzie E0 i tej samej częstości. Różnica faz między falami pochodzącymi z sąsiednich odcinków szczeliny wynosi φ. Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tj. dla różnych kątów θ, co równocześnie odpowiada różnym wartościom φ.

Skorzystamy tu z graficznej metody dodawania amplitud zaburzeń falowych. W tej metodzie każdej fali odpowiada wektor (nazywany wskazem), którego długość reprezentuje amplitudę fali, a kąt względem osi x fazę. Amplitudę wypadkową fali znajdujemy jako sumę wektorów amplitud (wskazów) uwzględniając tym samym amplitudy fal składowych jak i różnice faz między falami.  Więcej o ... . składaniu drgań metodą wektorową.

Na rysunku 30.3 poniżej jest przedstawiona konstrukcja geometryczna, za pomocą której obliczymy natężenie światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie.

 Rys. 30.3. Graficzne dodawanie wektorów amplitud (wskazów) w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie

Łuk okręgu jest utworzony z wektorów amplitud fal pochodzących z N elementarnych źródeł w szczelinie. Długość łuku wynosi Em czyli jest równa maksymalnej amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt φ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku tzn. φ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny.

Z rysunku 30.3 widać, że zachodzi związek

(30.4)

skąd

(30.5)

W mierze łukowej kąt więc

(30.6)

Podstawiając tę zależność do równania (30.5) otrzymujemy

(30.7)

lub

(30.8)

gdzie α =  φ/2.

Wektory na rysunku 30.3 odpowiadają amplitudom pola elektrycznego. Żeby otrzymać natężenie światła trzeba amplitudy podnieść do kwadratu, więc na podstawie równania (30.8) otrzymujemy

(30.9)

Jak widzimy, w przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego, natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych nie są jednakowe.

Ponieważ φ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z brzegów szczeliny o szerokości a, więc różnica dróg jakie przebywają te promienie do punktu P wynosi asinθ. Korzystając z relacji

(30.10)

otrzymujemy

(30.11)

Łącząc równania (30.9) i (30.11) możemy obliczyć natężenie światła dla obrazu dyfrakcyjnego otrzymanego dla pojedynczej szczeliny. Widzimy, że natężenie Iθ przyjmuje wartości minimalne dla

(30.12)

Podstawiając tę zależność do równania (30.11) otrzymujemy wynik zgodny z uzyskaną poprzednio zależnością (30.2).

Podobnie jest z wartościami maksymalnymi natężenia, które otrzymujemy dla

(30.13)

Na rysunku 30.4 poniżej przedstawiono rozkład natężenia światła (krzywe Iθ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ) dla różnych szerokości szczeliny
(w stosunku do długości fali λ).

 Rys. 30.4. Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny

Symulacje komputerowe
Możesz prześledzić rozkład natężenia światła dla obrazu dyfrakcyjnego otrzymanego dla pojedynczej szczeliny korzystając z programu komputerowego "Dyfrakcja1", dostępnego na stronie WWW autora i na stronie Open AGH. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu . Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.


Ćwiczenie
Jak widzieliśmy na rysunku 30.4 natężenia kolejnych maksimów w obrazie dyfrakcyjnym nie są jednakowe. Oblicz stosunek natężeń trzech kolejnych maksimów do natężenia maksimum środkowego w obrazie dyfrakcyjnym dla pojedynczej szczeliny. Skorzystaj z warunku na maksimum (dla m = 1, 2, 3) i wyrażenia (30.09) na natężenie światła. Sprawdź obliczenia i wynik.