30. Dyfrakcja

30.5 Interferencja fal z wielu źródeł, siatka dyfrakcyjna

  Równanie (29.2) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych w doświadczeniu Younga z dwoma punktowymi  szczelinami może posłużyć do wyznaczenia długości fali światła monochromatycznego. W praktyce jest to jednak trudne, bo ze względu na małe natężenia światła nie można w sposób dokładny wyznaczyć położenia maksimów interferencyjnych. Dlatego do wyznaczenia długości fali świetlnej stosuje się układ wielu równoległych do siebie szczelin czyli siatkę dyfrakcyjną .

Na rysunku 29.5 pokazany jest układ N szczelin odległych od siebie o d. Odległość d nazywamy stałą siatki dyfrakcyjnej .

 Rys. 30.7. Siatka dyfrakcyjna

Obraz powstały przy oświetleniu siatki dyfrakcyjnej składa się z serii prążków interferencyjnych podobnie jak dla dwóch szczelin. Na rysunku 29.6 poniżej rozkład natężeń dla N = 5 szczelin jest porównany z wynikiem uzyskanym w doświadczeniu Younga dla dwóch szczelin.

Z tego porównania wynika, że nie zmienia się odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy zachowaniu odległości między szczelinami d i długości fali λ). Położenia maksimów głównych nie zależą więc od N. Nastąpił natomiast bardzo wyraźny wzrost natężenia maksimów głównych, ich zwężenie oraz pojawiły się wtórne maksima pomiędzy nimi.

 Rys. 30.8. Rozkład natężenia światła uzyskany dla siatki dyfrakcyjnej o N = 5 szczelinach

Maksima główne występują gdy różnica dróg optycznych promieni wychodzących z sąsiednich szczelin (rysunek 29.5) zawiera całkowitą liczbę długości fal λ czyli gdy spełniony jest warunek

(30.19)

Wzór ten jest identyczny jak równanie (29.2) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych dla dwóch szczelin. Tym razem jednak ścisłe określenie położenia maksimów interferencyjnych jest łatwiejsze ze względu na ich większe natężenie i mniejszą szerokość.

W miarę wzrostu liczby szczelin siatki maksima główne stają się coraz węższe, a maksima wtórne zanikają i dlatego w praktyce stosuje się siatki dyfrakcyjne zawierające nawet kilka tysięcy szczelin, w których odległość między szczelinami jest rzędy tysięcznych części milimetra. Natężenie maksimów głównych ma wartość I = I0N2, czyli N2 razy większe niż dla pojedynczego źródła.

Przykład

Jako przykład rozpatrzmy siatkę dyfrakcyjną, która ma 4000 nacięć na 1 cm. Pada na nią prostopadle światło żółte z lampy sodowej (stosowanej w oświetleniu ulic). W świetle tym występują dwie fale o długościach 589.00 i 589.59 nm. Obliczmy odległość kątową pomiędzy maksimami pierwszego rzędu dla tych linii.

Położenie kątowe maksimum pierwszego rzędu otrzymujemy z warunku (30.19) dla m = 1

(30.20)

gdzie stała siatki dyfrakcyjnej d = 1cm/4000 = 2.5 μm. Wykonujemy teraz obliczenia kąta θ kolejno dla obu długości fal, a następnie obliczamy ich różnicę. Otrzymujemy kolejno

dla λ = 589.00 nm;  θ = 13.6270°, a dla λ = 589.59 nm;   θ = 13.6409°, skąd Δθ = 0.0139°

Ćwiczenie
Oceń czy ta odległość kątowa jest wystarczająca, żeby rozróżnić te dwie linie na ekranie odległym o D = 1 m od siatki? W jakiej odległości D' trzeba ustawić ekran, żeby odległość między tymi prążkami wyniosła Δy'= 1mm? Sprawdź obliczenia i wynik.

Możliwość rozróżnienia maksimów obrazów dyfrakcyjnych dla dwóch fal o niewiele różniących się długościach decyduje o jakości siatki dyfrakcyjnej. Mówimy, że siatka powinna mieć dużą zdolność rozdzielczą , którą definiujemy jako

Definicja

(30.21)

gdzie λ jest średnią długością fali dwóch linii ledwie rozróżnialnych, a Δλ różnicą długości fal miedzy nimi. Widać, że im mniejsza Δλ tym lepsza zdolność rozdzielcza.