35. Elementy mechaniki kwantowej

  W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem falowych własności materii. Według tej teorii, elektron w stanie stacjonarnym w atomie może być opisany za pomocą stojących fal materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a  p = h/λ wiążący własności cząsteczkowe z falowymi.

Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym. Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki.

Teoria Schrödingera stanowi uogólnienie hipotezy de Broglie'a.

35.1 Funkcja falowa

Dotychczas przypisywaliśmy cząstkom własności falowe podając długość fali materii de Broglie'a stowarzyszonej z daną cząstką. Jednak do pełniejszego opisu własności falowych posługujemy się funkcją reprezentującą falę de Broglie'a, tak zwaną funkcją falową ψ.

Przypomnijmy, że dla fal w strunie zaburzenie opisywaliśmy za pomocą równania fali opisującego poprzeczne wychylenie y struny (paragraf 13.2), a dla fal elektromagnetycznych poprzez równanie opisujące wektor natężenia pola elektrycznego E (paragraf 29.3). Analogiczną miarą dla fal materii jest właśnie funkcja falowa ψ.

Najogólniej, jest to funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu ψ(x,y,z,t). Na przykład dla swobodnej cząstki poruszającej się w kierunku osi x można ją zapisać w postaci prostej funkcji sinusoidalnej o amplitudzie A

(35.1)

Zauważmy, że wyrażenie to jest identyczne jak wzór (13.4) opisujący rozchodzenie się (w kierunku x)  fali harmonicznej wzdłuż długiego naprężonego sznura.

O ile jednak znamy fizyczne znaczenie funkcji opisującej zaburzenie falowe dla struny czy fali elektromagnetycznej to pozostaje odpowiedzieć na pytanie jaki jest związek pomiędzy funkcją falową, a opisywanym przez nią elektronem (cząstką), pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się funkcja ψ.

Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej zaproponował M. Born.

Prawo, zasada, twierdzenie
Zasugerował, że wielkość IψI2 w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pobliżu tego punktu to znaczy w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w przedziale x, x+dx.

(Ponieważ funkcja falowa może przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat modułu funkcji falowej.)

Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Jeżeli w jakiejś chwili t, dokonamy pomiaru mającego na celu ustalenie położenia cząstki opisywanej funkcją falowa ψ(x,t) to prawdopodobieństwo, że znajdziemy cząstkę w przedziale [x, x+dx] wynosi Iψ(x,t)I2dx. Wielkość IψI2 jest więc miarą gęstością prawdopodobieństwa .

Ponieważ ruch cząstki jest opisywany stowarzyszoną z nią falą materii, to oczekujemy, że w miejscu przebywania cząstki fala materii ma dużą amplitudę. Natomiast gdy amplituda fali materii jest równa zeru w pewnych punktach przestrzeni to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym miejscu jest zaniedbywalnie małe.