Powierzchnie stopnia 2-go w przestrzeni

Powierzchnie obrotowe

Z: Krzywa k leży w płaszczyźnie Oxz i jest dana równaniem:

(1) ,

Obracamy krzywą k dookoła osi Oz. Wtedy każdy punkt P0k nie leżący na osi Oz zatoczy okrąg o równaniu:

  1. leżący w płaszczyźnie:
  2. z = z0

    3. Rugując z równań (2), (3) z0 otrzymujemy równanie powierzchni zatoczonej przez krzywą k daną równaniem (1) dookoła osi Oz:

 

Elipsoida

Dana elipsa:

(5) leżąca w płaszczyźnie Oxz:

k: ,

Obracamy dookoła osi Oz krzywą k:

(6)

(6) – powierzchnia zwana elipsoidą obrotową powstała przez obrót elipsy (5) dookoła osi Oz.

Analogicznie gdy

(7)

(7) - równanie sfery kulistej o środku (0,0,0) i promieniu

(8)

(8) - równanie sfery kulistej o środku i promieniu

 

(9)

(9) - równanie elipsoidy 3-osiowej (to nie jest powierzchnia obrotowa)

Hiperboloida jednopowłokowa i dwupowłokowa

Dana hiperbola:

(10) leżąca w płaszczyźnie Oxz:

k: ,

Obracamy krzywą k dookoła osi Oz, otrzymujemy powierzchnię

(11)

(11) – powierzchnia zwana hiperboloidą jednopowłokową powstała przez obrót dookoła osi Oz hiperboli (10).

(12) - hiperboloida jednopowłokowa

Obracamy hiperbolę (10) dookoła osi Ox (krzywą k: , z = f(x), ), otrzymamy powierzchnię:

(13)

zwaną hiperboloidą obrotową 2-powłokową

(14) - hiperboloida 2-powłokowa

Paraboloida eliptyczna i hiperboliczna

Dana parabola

(15) leżąca w płaszczyźnie ,

Obracamy krzywą dookoła osi Oz

(16)

(16) - paraboloida obrotowa

    2. (17) - paraboloida eliptyczna.

    Równanie postaci

przedstawia powierzchnię zwaną paraboloidą hiperboliczną (siodło).

1) Płaszczyzna przecina powierzchnię po paraboli .

2) Płaszczyzna przecina powierzchnię po paraboli .

3) Płaszczyzny przechodzące przez oś Oz przecinają powierzchnię po parabolach ( z dowol.) z wyjątkiem płaszczyzn:

i

które przecinają powierzchnie po prostych

4) Płaszczyzna do osi Oz przecina powierzchnię po hiperbolach , gdy hiperbola redukuje się do 2-ch prostych.

Powierzchnie stożkowe

Prosta

(19) leżąca w płaszczyźnie Oxz: obraca się dookoła osi Oz. Otrzymamy powierzchnię zwaną stożkiem kołowym.

(20)

(20) - stożek kołowy

(21)

(21) - stożek eliptyczny

Powierzchnie walcowe

Na płaszczyźnie Oxy: dana jest elipsa, hiperbola, parabola:

, ,

p – prosta || do osi Oz i poruszająca się przez wszystkie punkty krzywej opisze:

(22) (z – dowolne)

(22) – walec eliptyczny,

(23) (z – dowolne)

(23) - walec hiperboliczny

(24) (z – dowolne)

(24) - walec paraboliczny

Ogólnie:

 

(25) - równanie powierzchni walcowej o kierownicy i tworzących || do osi Oz.