Ćwiczenie 1

Charakterystyki czasowe obiektów

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zaznajomienie się z charakterystykami czasowymi podstawowych obiektów dynamicznych. Charakterystyki czasowe dzielimy w zależności od typu wymuszenia na: skokowe i impulsowe.

Wymuszenie skokowe jest sygnałem w postaci:

gdzie A jest amplitudą sygnału.

Jeżeli amplituda wymuszenia skokowego A = 1, to takie wymuszenie nazywa się skokiem jednostkowym. Odpowiedź obiektu na wymuszenie jednostkowe nazywa się odpowiedzią jednostkową i oznacza się zwykle jako h(t).

Wymuszenie impulsowe jest funkcją  Diraca zdefiniowaną następująco:

przy czym zachodzi

Odpowiedź obiektu na wymuszenie impulsowe nosi nazwę odpowiedzi impulsowej i najczęściej jest oznaczane jako k(t).

Program ćwiczenia

Wykonać charakterystyki jednostkowe i impulsowe następujących obiektów:

  1. Inercyjny I – rzędu

       

  1. Całkujący z inercją

       

  1. Różniczkujący rzeczywisty

       

  1. Inercyjny II – rzędu

       

  1. Oscylacyjny II – rzędu

       

  1. Opóźniający z inercją

       

Transmitancje wszystkich wymienionych obiektów, za wyjątkiem opóźniającego z inercją (6), można łatwo przekształcić do ogólnej postaci wielomianowej:

 

przy czym zachodzi warunek realizowalności fizycznej układu .

Tworzenie charakterystyk czasowych odbywa się w ćwiczeniu symulacyjnie, za pomocą poleceń pakietu MATLAB: step i impulse. Stosowanie oraz składnię tych poleceń można znaleźć w pomocy Matlab-a. Na przykład wprowadzając w MATLAB Comand Window polecenie help step, uzyskujemy informację o działaniu polecenia step. W najprostszym stosowaniu polecenie to ma tylko prawostronne argumenty służące do zdefiniowania transmitancji operatorowej obiektu.

Wykonanie charakterystyki skokowej (jednostkowej) odbywa się przez wprowadzenie polecenia step w postaci:

step(g) lub step(l,m)

gdzie g jest transmitancją obiektu określoną poleceniem g = tf(l,m), l = [bm  bm-1 ... b1 b0] jest wektorem, którego składowymi są współczynniki wielomianu licznika transmitancji, m = [an  an-1 ... a1 a0] jest wektorem złożonym ze współczynników wielomianu mianownika tejże transmitancji.

Uwaga! Składowe wektorów oddzielone odstępami lub przecinkami, zapisuje się w nawiasach prostokątnych. Natomiast argumenty prawostronne poleceń należy zawsze oddzielać przecinkami i zapisywać je w nawiasach okrągłych.

W przypadku obiektu opóźniającego z inercją należy najpierw wyznaczyć transmitancję zastępczą (w postaci wielomianowej) dla członu opóźniającego. W tym celu trzeba posłużyć się aproksymacją Padego. Polecenie pade użyte w postaci:

zwraca wektor [lp, mp] współczynników transmitancji przybliżenia Padego, w którym To jest czasem opóźnienia, n jest rzędem metody.

Następnie można utworzyć transmitancję obiektu opóźniający z inercją za pomocą polecenia series, które należy wprowadzić w postaci:

[lo,mo]=series(li,mi,lp,mp)

gdzie [lo, mo] jest wektorem złożonym ze współczynników wielomianów transmitancji przybliżenia obiektu opóźniającego z inercją, zaś [li, mi] jest wektorem, którego składowymi są współczynniki wielomianów transmitancji członu inercyjnego.

Wykresy poszczególnych charakterystyk wykonanych dla trzech różnych kombinacji parametrów, należy zamieścić w osobnych oknach graficznych. Nakładanie wykresów w jednym układzie współrzędnych realizuje polecenie hold on.

Sprawozdanie

W sprawozdaniu należy zamieścić wykonane charakterystyki. Wszystkie wykresy powinny być opisane i zinterpretowane w odpowiedni sposób np. dla obiektu inercyjnego I – rzędu trzeba określić wzmocnienie i stałą czasową. Trzeba też zaznaczyć charakterystyczne punkty na przebiegach (np. wartość początkową charakterystyki impulsowej) i określić zależność jego położenia od parametrów obiektu. Ponadto należy podać dla każdego obiektu: równanie różniczkowe, transmitancję operatorową oraz napisać wzory określające charakterystyki – jednostkową i impulsową.

Przykład 1

Wykonać charakterystykę jednostkową obiektu inercyjnego I – rzędu

dla k = 3, T = 5.

W oknie MATLAB Command Window wprowadzamy następujące polecenia:

g1=tf(3,[5 1]); step(g1);

Pierwsze z tych poleceń służy do zdefiniowania transmitancji operatorowej obiektu inercyjnego I – rzędu.

Argumentami prawostronnymi tego polecenia są: współczynniki wielomianów licznika i mianownika transmitancji obiektu g1.

Polecenie step(g1) z kolei powoduje wykonanie odpowiedzi jednostkowej obiektu i zamieszczenie jej w osobnym oknie graficznym. Wykres podlega edycji, co umożliwia odpowiednie jego opracowanie: naniesienie siatki, opis osi, wpisanie tytułu itp.

Rys. 1. Odpowiedź jednostkowa obiektu inercyjnego I – rzędu