Zjawiska przepływowe występują praktycznie we wszystkich dziedzinach zastosowań przemysłowych. Równania Naviera Stokesa wykorzystywane są w do matematycznego opisu zjawisk związanych z przepływami płynów w układach o określonej geometrii. Rozwiązanie równań NS pozwala na uzyskanie dokładnego pola wektorów prędkości płynu w dowolnej chwili czasu i przestrzeni. Równania NS mają bardzo wiele zastosowań, wykorzystuje się je mi do przewidywania zachowania prądów morskich, prognozowania pogody, modelowania przepływu płynu w rurach, ruchu gwiazd w galaktyce, modelowania procesów krzepnięcia, symulacji wypływania wtrąceń niemetalicznych…. Pomimo bardzo szerokiego zakresy zastosowań równań NS, z matematycznego punktu widzenia nie udało się udowodnić, że dla problemów przestrzennych zawsze istnieje rozwiązanie powyższych równań. Jest to jeden z siedmiu tak zwanych problemów milenijnych, za którego rozwiązanie wyznaczono nagrodę miliona dolarów Płyn – każda substancja, która może płynąć, tj. dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać (przepływać). Pojęcia płynu nie należy utożsamiać tylko z cieczą, ponieważ płynami są również wszystkie gazy, a nawet mieszaniny różnych faz fizycznych jak piana, emulsja, zawiesina, pasta. Gęstość płynu może zależeć od szeregu czynników takich jak temperatura czy ciśnienie. Dla cieczy, nawet przy stosunkowo dużych zmianach ciśnienia i temperatury, gęstość zmienia się nieznacznie, dlatego określamy je mianem płynów nieściśliwych. Gęstość gazów, natomiast, jest bardzo czuła na zmiany ciśnienia i temperatury (tabela). Jeśli można przyjąć, że gęstość płynu jest stała, niezależna od czasu i współrzędnych przestrzennych, wówczas mówimy o przepływie nieściśliwym Zazwyczaj przyjmuje się, że przepływ cieczy jest nieściśliwy, a gazów ściśliwy. 1 atm=1013hPa Lepkość jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych, dlatego nazywa się ją także tarciem wewnętrznym. Powodowana jest przez siły styczne działające pomiędzy warstwami cieczy przesuwającymi się względem siebie. Lepkość powoduje stopniowe rozpraszanie energii mechanicznej w układzie. W niektórych zagadnieniach można zaniedbać opory ruchu związane z lepkością, mówimy wówczas o przepływie nielepkim. Przepływ - to opis ruchu płynu, podstawowe pojęcie z zakresu mechaniki płynów. W ujęciu ogólnym przepływ można scharakteryzować po przez podanie pola prędkości płynu w zależności od współrzędnych przestrzennych i czasu. Przepływ ustalony (stacjonarny) – jest pewnym uproszczeniem zakładającym, że prędkość płynu w każdym punkcie układu jest niezmienna w czasie. Przyjęcie takiego założenia znacznie upraszcza postać równań NS. Re<1000 przepływ stacjonarny 10002000 przepływ turbulentny Model płynu rzeczywistego- w odróżnieniu od płynu doskonałego płyn pod wpływem działania sił zewnętrznych np.: ciśnienia, może zmieniać swoją objętość (ściśliwość), a podczas płynięcia występuje opór wewnętrzny wywołany lepkością płynu. Model płynu doskonałego- zakłada, że płyn jest nielepki i nieściśliwy. Czynniki zewnętrzne nie wpływają na jego zachowanie. Równanie Naviera Stokesa opisuje lokalną zmianę pędu. Równanie to ma podobną interpretację fizyczną co druga zasady dynamiki Newtona. Poszczególne składowe równania opisują: konwekcję, przenoszenie lokalnego pędu wraz z ruchem cieczy, zmianę pędu wywołaną siłami ciśnienia, siły tarcia, rozproszenie pędu wywołane siłami tarcia lepkości płynu, powstawanie pędu pod wpływem sił masowych. Równania NS dla przypadku trójwymiarowego dla przepływu laminarnego, lepkiego dla cieczy nieściśliwej Poprawne zdefiniowanie warunków brzegowych umożliwiających rozwiązanie równań Naviera Stokesa jest zadaniem skomplikowanym i wymagającym dobrej znajomości układu czy procesu, który staramy się opisać matematycznie. Warunki brzegowe pozostają niezmienne w czasie całej symulacji. Najczęściej stosowane są następujące warunki brzegowe: ● Prędkość płynu, prostopadła do ścianki, zawsze jest równa zero, ● Ścianki z poślizgiem- prędkość styczna na ściance jest równa prędkości płynu na brzegu ścianki, ● Ścianka bez poślizgu- prędkość styczna do ścianki zanika, ● Brak przenoszenia naprężeń stycznych przez powierzchnię swobodną płynu. Numeryczne rozwiązanie równań Naviera Stokesa należy rozpocząć od wybrania odpowiedniej metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Do najczęściej wykorzystywanych w tym celu metod należą: • Metoda Różnic Skończonych • Curvilinear Finite Difference • Metoda Elementów Skończonych • Metoda Elementów Brzegowych • Metoda Elementów Objętościowych Cechą wspólną wszystkich metod jest dyskretyzacja, która polega na zastąpieniu równań różniczkowych, na równania PRYMITYWNE W przypadku Metody Różni skończonych dyskretyzacja dotyczy wprost rozwiązywanych równań co w efekcie prowadzi do zastąpienia równań różniczkowych przez równania różnicowe. Ostatecznie otrzymuje się układ równań algebraicznych , których rozwiązanie dostarcza wartości poszukiwanej w dyskretnym Zbiorze punktów nazywanych węzłami Klasyczną metodą numeryczną dla rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych jest metoda różnic skończonych — MRS (ang. Finite Difference Method), w której problem dyskretny otrzymujemy przez zastąpienie pochodnych z równań NS, odpowiednimi ilorazami różnicowymi operującymi na wartościach w punktach zdyskretyzowanego obszaru. Numeryczna analiza równań różniczkowych ruchu płynu polega, najkrócej mówiąc, na ich dyskretyzacji, która oparta jest najczęściej na podziale obszaru obliczeniowego na małe elementy, czyli na wprowadzaniu siatki punktów węzłowych. Dyskretyzacja taka pozwala na zamianę układu równań różniczkowych na duży układ równań algebraicznych, który następnie jest rozwiązywany metodami algebry liniowej. W przypadku MES zaczynamy od przekształcenia postaci różniczkowej problemu w postać całkową. Dopiero w tym momencie dokonujemy dyskretyzacji. Wykorzystując np. metodę Galerkina przechodzimy do postaci całkowej równań NS, wykorzystując funkcje kształtu elementów Ni Metoda opisu zjawisk przepływu przy zastosowaniu równań Naviera Stokesa posiada zalety i wady. Do niewątpliwych zalet należy zaliczyć możliwość uzyskania dokładnej informacji na temat rozkładu pól prędkości w układzie oraz możliwość weryfikacji wyników na modelach fizycznych. Do wad zaliczyć należy stopień skomplikowania stosowanego opisu matematycznego, który przekłada się na czas obliczeń potrzebnych na realizacj algorytmów wykorzystywanych do dyskretyzacji równań różniczkowych.