Temat:21    Ruch drgający punktu materialnego

21.1 Drgania swobodne nietłumione
        Ruchem drgającym punktu materialnego (drganiem) nazywamy ruch w dostatecznie małym  otoczeniu położenia swojej równowagi stałej tego punktu. Jeżeli punkt materialny zostanie wychylony z położenia równowagi, to zostaną wywołane drgania tego punktu.

    W wielu zagadnieniach mamy do czynienia z ruchem punktu materialnego, na który działa siła  proporcjonalna do tego wychylenia od pewnego nieruchomego punktu  i skierowana w stronę tego punktu. Rozpatrzymy przypadek, gdy punkt materialny porusza się po linii prostej, na której leży również wspomniany wyżej punkt . Jeżeli tę prostą obierzemy jako oś z początkiem w punkcie         (rys. 21.1), a współczynnik proporcjonalności między siłą przyciągającą a wychyleniem punktu materialnego oznaczmy symbolem , to równanie różniczkowe ruchu będzie miało postać:

                                                         

                                        

  Znak minus po prawej stronie powyższego równania pochodzi stąd, iż dla  siła  ma zwrot przeciwny do osi , a dla  siła ta ma zwrot zgodny z osią. Przenosząc w równaniu tym wyraz  na lewą stronę mamy:

                                                                                                                                                                                                                   (21.1)

Z równaniem tego typu spotkamy się na przykład przy badaniu małych pionowych ruchów ciała zawieszonego na sprężynie (rys.21.2) .

Na ciało działają następujące siły: siła ciężkości oraz reakcja sprężyny . Ponieważ dla małych odkształceń zachodzi proporcjonalność między siłą rozciągającą sprężynę i jej wydłużeniem, przeto oznaczając symbolem  mierzone pionowo w dół wychylenie ciała z położenia równowagi, a

symbolem wydłużenie statyczne sprężyny otrzymujemy:

                                                                 

                                                

przy czym  oznacza teraz tak zwany współczynnik sprężystości sprężyny. Biorąc pod uwagę, że w rozpatrywanym przypadku  

  , otrzymujemy następujące równanie ruchu:

                                                                                                                                   (21.2)                                       
Ponieważ jest wydłużeniem statycznym sprężyny, czyli wydłużeniem w położeniu równowagi, w którym siła ciężkości zawieszonego ciała równoważy się z reakcją sprężyny , przeto:

                                                        

                                        a stąd

                                                             

Podstawiając w równaniu (21.2) powyższą zależność, otrzymujemy równanie ruchu identyczne z (21.1) . Po podzieleniu równania (21.1) przez masę  m otrzymamy: 

                                               ,                                                                                                                                                                                   (21.3)

  przy czym

                                                       ,                                                                                                                                                                       (21.4)

Rozwiązanie ogólne równania (21.3) jest następujące:

                                                                                                                                                                                                                (21.5)  
albo po przekształceniu

                                                                                                                                                                                                              (21.6)

                 ,               

                                                                                                                                                                                                                             (21.7)

Z równania (21.6) wynika, że rozpatrywany punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym prostym, przy czym częstość drgań równa jest parametrowi   określonemu wzorem (21.4), a okres drgań wynosi:

                                                                                                                                                                                                                (21.8)

Stałe całkowania i  wyznaczamy z warunków początkowych. Jeżeli w chwili wychylenie punktu materialnego z położenia

 równowagi wynosiło , a wartość prędkości wynosiła  , to

                                           ,      

                                       

a więc

                                                                                                                                                                                                   (21.9)

                                              gdy   ,  wtedy

                                               

Wielkość   nazywa się częstością drgań własnych punktu materialnego o masie . Wielkość    określającą maksymalne wychylenie punktu z położenia równowagi nazwano amplitudą drgań. W tym przypadku amplituda drgań jest równa wychyleniu początkowemu z położenia równowagi. 

 

21.2. Drgania wymuszone nietłumione

    Załóżmy, że oprócz siły , proporcjonalnej do wychylenia, na punkt materialny działa jeszcze pewna siła , której wartość jest okresową funkcją czasu  (rys.21.3), przy czym:

                                                                                   
                             

                                                                                                                                                                                                                                                                Równanie różniczkowe ruchu przybierze teraz postać:

                                                         

                                            albo 

                                                        _,                                                                                                                                                             (21.10)                                   

przy czym, jak poprzednio,         

                                                  .     

Równanie (21.10) jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym. Jego rozwiązanie ogólne równe jest sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego, a więc w danym przypadku równania (21.3), oraz rozwiązania szczególnego.  Oznaczmy pierwsze z tych rozwiązań symbolem  , drugie zaś, tj. rozwiązanie szczególne równania (21.10), symbolem  .  Otrzymamy wówczas:

                                                                                                                                                                                                                           (21.11)

  przy czym zgodnie z (21.5)

                                                          .                                                                                                                                                            (21.12)

 Rozwiązaniem szczególnego równania (21.10) szukamy w postaci:

                                                                                                                                                                                                                                    (21.13)
gdzie  jest stałym współczynnikiem, którego wartość należy wyznaczyć. Podstawiając w (21.10) wyrażenie (21.13), otrzymujemy:

                                                  

Aby powyższe równanie było tożsamościowo spełnione, powinno być:

                                                                     

                                                    czyli

                                                                                                                                                                                                                                       (21.14)

  Poszukiwanym rozwiązaniem szczególnym jest więc

                                                                                                                                                                                                                                   (21.15)

  Uwzględniając zależności (21.11) i (21.12), otrzymujemy:

                                                                                                                                                                                                     (21.16)

Na podstawie (21.16) stwierdzamy, że ruch punktu materialnego stanowi wynik superpozycji dwóch rodzajów drgań  harmonicznych. Pierwsze z nich pokrywają się z badanymi poprzednio drganiami swobodnymi, drugie zaś odpowiadają szczególnemu rozwiązaniu (21.14). Te ostatnie drgania noszą nazwę drgań wymuszonych, a ich okres

                                                                                                                                                                                                                                 (21.17)

jest taki sam jak okres siły    _{wywołującej tedrgania.} Zgodnie z równaniami (21.14) i (21.4) amplituda drgań wymuszonych wynosi

                                                                                                                                                                                                         (21.18) 

  Wartość amplitudy  zależy od stosunku , czyli od stosunku częstości siły  do częstości drgań swobodnych. Na rysunku (21.4) zależność tę przedstawiono wykreślnie.

Gdy = 0, czyli gdy siła wymuszająca jest stała, wtedy  i z równania (21.16) wynika, że punkt materialny wykonuje drgania swobodne, których środkiem jest położenie równowagi określone odciętą . Gdy       a amplituda drgań wymuszonych dąży do
zera i  wreszcie gdy , to znaczy gdy częstość siły wymuszającej zbliża się do częstości drgań własnych, amplituda drgań wymuszonych wzrasta nieorganicznie. Przypadek wyłączamy na razie z naszych rozważań , gdyż wówczas rozwiązanie szczególne (21.15) traci sens. Przypadkiem tym, który nosi nazwę rezonansu, zajmiemy się osobno. Rozwiązanie (21.15) odpowiadające drganiom wymuszonym możemy przedstawić w następującej postaci:

 

                                                            

gdy_:                                                                                                                                

                                                                                                 

                                                                              
gdy_:

                                                                                  

  Z powyższego wynika, że częstość siły wymuszającej   jest mniejsza od częstości drgań własnych, drgania wymuszone mają taki gdy sam kąt przesunięcia fazowego jak wspomniana wyżej siła. Natomiast gdy siła   ma częstość większą od częstości drgań własnych, wówczas drgania wymuszone są spóźnione w fazie o pół okresu.

Zajmiemy się teraz zbadaniem przypadku, gdy   , a więc przypadkiem rezonansu. Równanie różniczkowe ruchu przyjmie postać:

                                                                                                                                                                                                         (21.19)                                
Rozwiązanie szczególne tego równania jest następujące:

                                                              

Ponieważ

                                                           ,

przeto, aby rozwiązanie szczególne miało przyjętą wyżej postać, powinno być

                                               

                                              czyli

                                                          .

 Otrzymujemy więc ostatecznie:

                                                                                                                                                                                                         (21.20)

Drgania wymuszone nie są już teraz drganiami harmonicznymi, można natomiast je traktować jako drgania okresowe o amplitudzie rosnącej proporcjonalnie do czasu . Są one przy tym opóźnione w stosunku do siły  o ćwierć okresu. Na (rys. 21.5) podano wykres przedstawiający przebieg drgań wymuszonych .

W rozwiązaniu ogólnym (21.16), ważnym dla przypadku, gdy , występują dwie stałe dowolne, które należy wyznaczyć z warunków początkowych ruchu. Przyjmiemy, że dla  mamy  i . Po prostych rachunkach otrzymamy:

                                       

                                                
natomiast      

                                                                    

W tym szczególnym przypadku równanie ruchu ma więc postać:

                                                                                                                                                                                                  (21.21)

Załóżmy teraz, że częstość siły wymuszającej różni się bardzo mało od częstości drgań własnych, czyli że rozpatrujemy przypadek bliski rezonansu.
Wprowadzając oznaczenie

                                          ,

otrzymujemy:

                                           

                                   

                     

  Uwzględniając powyższe przybliżone zależności równania (21.21) możemy nadać teraz postać:

                        .                                                                                                                                                                                     (21.22)

Traktując wyrażenie w nawiasie jako zmienną sinusoidalnie w czasie amplitudę, możemy drgania, które wykonuje punkt materialny, rozpatrywać jako drgania o okresie

                                           ,
a więc równym okresowi drgań własnych o zmiennej amplitudzie:

                                .                                                                                                                                                                                    (21.23)

Okres zmiany amplitudy

                                                 

jest bardzo duży w porównaniu z okresem ,gdyż z założenia  jest małe. Zależność  od czasu _wynikającą z równania (21.22) pokazano na (rys. 21.6)

                                                           

  Jaka jest z rysunku, amplituda drgań na przemian to wzrasta, to maleje.Tego rodzaju zjawisko, które można zaobserwować w pobliżu rezonansu, nosi nazwę dudnienia.

 

21.3. Drgania swobodne tłumione
    W poprzednich punktach przy rozpatrywaniu małych drgań pominięto opory ruchu. Obecnie założymy, że na punkt materialny działa, oprócz siły proporcjonalnej do wychylenia, jeszcze siła oporu , której wartość jest wprost proporcjonalna do prędkości. Jak wynika z doświadczeń, to ostatnie założenia daje zadowalające przybliżenie w przypadku nieznacznych prędkości ruchu, z jakimi mamy do czynienia przy rozpatrywaniu małych drgań sprężystych. Jeżeli oznaczamy symbolem współczynnik proporcjonalności między siłą  i prędkością , to:

                                                                                                                                                                                                  (21.24)                

 i zgodnie z (rys. 21.7) równanie różniczkowe ruchu dla drgań swobodnych ma postać:

                                                                                                                                            (21.25)                                                                                                                                                                                                           

                             

przy czym, jak poprzednio odpowiada położeniu równowagi.

  Wprowadzając oznaczenia

                                         ,                                                                                           (21.26)                                                                                                                                                                     

 równanie (21.25) można napisać w postaci:

                                                                                                                                    (21.27)                                                                                                                                                            
Otrzymaliśmy jednorodne liniowe równanie różniczkowe, którego równanie charakterystyczne

                                                                                                                                                                                                  (21.28)

  ma następujące pierwiastki:

                                  ,    _.                                                            (21.29) .                                                                                                                                                         

Jeżeli założymy, że   (przypadek tzw. tłumienia podkrytycznego) , pierwiastki te są zespolone i rozwiązanie ogólne równania
(21. 27) ma postać

                                .                                                               (21.30)                                                                                                                                                                          

  Z powyższego wynika , że punkt materialny wykonuje drgania , których amplituda     _maleje, tak jak pokazano na
(rys.21.8). Jeżeli jako okres tych drgań będziemy przyjmować odstęp czasu miedzy kolejnymi chwilami, w których  punkt

materialny przechodzi przez  położenie równowagi  z prędkościami o jednym kierunku, to:

                                                                                                                                                                                                          (21.31)

  W przypadku, gdy tłumienie jest małe, czyli gdy współczynnik jest znacznie mniejszy od , okres drgań tłumionych różni się tylko nieznacznie od okresu obliczonego wg wzoru (21.8) wyprowadzonego dla drgań bez tłumienia. Obliczamy stosunek dwóch jakichkolwiek kolejnych maksymalnych (lub minimalnych) wychyleń punktu materialnego. Ponieważ, jak łatwo  wykazać, odstęp czasu między chwilami, w których współrzędna  osiąga  maksimum , równy jest okresowi  wynikającemu ze wzoru (21.31), przeto:

                                .

  Logarytm tego stosunku, czyli

                                                                                                                                                                                             (21.32)

nosi nazwę dekrementu tłumienia i jest miarą intensywności tłumienia. Omówimy teraz nowy przypadek, gdy  (przypadek tzw. tłumienia  nadkrytycznego), pierwiastki równania charakterystycznego (21.29) są rzeczywiste i oba ujemne, rozwiązanie ogólne równania (21.28) ma postać :

                                                                                                                                                                                       (21.33)

    Charakter krzywych przedstawiających zależność współrzędnej od czasu pokazano na (rys.21.9). Z rysunku tego wynika, że w rozpatrywanym przypadku nie mamy już do czynienia z drganiami i wychylenie punktu maleje, bardzo szybko zdążając asymptotycznie do  zera.

                                         

                                                                                      

Gdy wreszcie (przypadek tzw. tłumienia krytycznego) rozwiązanie równania (21.28) ma  postać:

                                                                                                                                   (21.34)                                                                                                                                                                                                    
I podobnie jak poprzednio nie występują drgania. We wszystkich  trzech przypadkach stałe   i  wyznacza się z warunków początkowych.

21.4. Drgania wymyszone tłumione

    Zbadamy teraz wpływ  tłumienia na drgania wymuszone. Jeżeli oprócz sił    i   na punkt materialny działać będzie jeszcze siła  , której wartość jest okresową funkcją czasu, przy czym ,  to równanie różniczkowe ruchu ma postać :

                                                                                                                                                                                        (21.35)

  Albo, stosując oznaczenia (21.26), postać :

                                                                                                                            (21.36)                                                                                                                                                              
Rozwiązanie tego równania równe jest sumie rozwiązania ogólnego równania jednorodnego, które było podane poprzednio, oraz rozwiązania szczególnego. To ostatnie będziemy poszukiwać w następującej postaci :

                                                                                                                                   (21.37)                                                                                                                             
Przy czym  i  oznaczają pewne stałe. Stałe te wyznaczamy z warunku, aby równanie (21.36) było spełnione tożsamościowo. Poszukiwane rozwiązanie szczególne odpowiada drganiom wymuszonym w przypadku, gdy zachodzi tłumienie tych drgań. Podstawiając w (21.36) zamiast   

          określone wzorem (21.37) i wykonując odpowiednie  działanie, otrzymujemy:       

                      _,   

   a stąd po przekształceniach

                  

                   

  Aby więc równanie powyższe  było spełnione tożsamościowo, powinno być :

                                                                                                           (21.38)               

                                                                                                                                                                                                                           

              

                   Z powyższych równań znajdujemy

                 ,      .                                                                                                                           Dla rozstrzygnięcia, którą z dwóch wartości kąta    _w  przedziale od    do    należy przyjąć, pomnóżmy pierwsze równanie układu (21.38) przez   , drugie zaś przez   i  następnie dodajmy je stronami. Otrzymamy wówczas :

                 .                                                                                                                                                                                    (21.40)

 Jeżeli założymy, że  , to z drugiego ze wzorów (21.39) wyniknie, iż  , a stąd na  podstawie równania (21.40) stwierdzamy ,

że     ,   czyli

                 .                                                                                                                                                                                    (21.41)

  Rozwiązanie szczególne równania (21.36) ma ostatecznie postać:

                                                                                                                                                                                  (21.42)

Ze wzoru na amplitudę drgań wymuszonych wynika, że gdy , to znaczy, gdy występuje tłumienie, pozostaje ona zawsze  ograniczona, a w przypadku  mamy :

                              .                                                                                                                                                                                    (21.43)

  Na podstawie drugiego równania (21.39) znajdujemy, że amplituda osiąga maksimum, gdy                                  

  ,i wówczas

                            .                                                                                                                                                                                    (21.44)

  Jeżeli tłumienie jest małe, maksimum amplitudy zachodzi dla   bardzo bliskiego , jeżeli natomiast  , to amplituda osiąga

 ekstremum tylko dla  i maleje wraz z częstością . W tym ostatnim przypadku nie występuje zjawisko rezonansu polegające na znacznym wzroście amplitudy drgań wymuszonych w okolicy   .Na (rys 21.10) podano krzywe zależności amplitudy drgań wymuszonych od stosunku  . Krzywe te wykreślono dla szczególnych wartości parametru , określającego intensywność tłumienia.              

                                              

Kąt  , czyli kąt  opóźnienia w fazie drgań wymuszonych w stosunku do okresowo zmiennej siły  wywołującej drgania , zależy

 również od częstości   , tej siły. Z  pierwszego ze wzorów (21.39) wynika, że gdy  , wtedy  , gdy   , wówczas kąt   .Gdy   , kąt    co oznacza, że w tym przypadku, tak jak dla drgań  nietłumionych  , drgania wymuszone są   opóźnione w fazie o ćwierć okresu. Krzywe przedstawione na (rys. 21.11) podają zależność kąta   od stosunku  . Krzywe te zostały wykreślone dla kilku szczególnych wartości parametru .

               

                                          

 

 Przykład 1:
        Walec o wysokości [ ] , promieniu podstawy  i  masie [kg] zawieszony jest  na sprężynie o sztywności . W położeniu równowagi walec jest zanurzony w wodzie na głębokość  (rys. 21.12). W chwili początkowej walec był zanurzony w wodzie na głębokość    i  został puszczony bez prędkości początkowej. Przyjmując, że działanie wody sprowadza się do siły wyporu według prawa Archimedesa, wyznaczyć ruch walca . Ciężar właściwy wody jest równy .

 

Rozwiązanie:

Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu walca ma postać

                                                                  

 W położeniu równowagi walca mamy:

                                                            

 Zatem równanie różniczkowe ruchu walca możemy zapisać

                                                       

 

  Rozwiązaniem tego jest funkcja :

                                                              

  Stałe   i   wyznaczamy z warunków początkowych . W chwili początkowej      Zatem:

 

 

Stąd        ,   

Równanie ruchu walca możemy ostatecznie zapisać

                                                   

 

Przykład 2:

    Określić stosunek okresów drgań swobodnych punktu materialnego o masie m = 20 kg, zawieszonego na dwóch sprężynach przy szeregowym i równoległym ich połączeniu.

Dane sprężyn:

Sprężyna 1. D₁ = 40 mm, d₁ = 2 mm,    i₁ =10, G = 8·10⁴ MPa,

Sprężyna 2. D₂ = 35 mm, d₂ = 1.5 mm, i₂ =12, G = 8·10⁴ MPa,

Wzór na wydłużenie sprężyny ma postac:

                                                  

 Rozwiązanie:

1. Przypadek połączenia szeregowego sprężyn

 

Obliczamy                          

 

                                       

 

                                     

 

                          stad    tak więc sztywność zastępcza przy połączeniu

 

                         szeregowym wynosi

 

 Równanie (21.19) możemy zapisać                                                         

                                ;czyli  ,    gdzie

 

                                 okres drgań      

 

                                    

 

                                                      

 

2.  Przypadek połączenia równoległego (masa sztywnego elementu AB jest równa zeru)

                                                                                 

 

                                                                                                                        

 Równowaga ciała  m

                                                   

 

                                                                         

 

                                      

Statyczne przemieszczenie środka ciężkości C

 

                                                                gdzie: AC = l₁              CB = l₂

                                                               AA₁ = λ_st1          CC₁ = λ_st          BB₁ = λ_st2                                        

                  

                                               (a)     

 

                                              (b)     (c)                                   

 

wstawiamy (c) do (b) otrzymamy:                                                                              

                                              (d)              

   

                                       z (d)

                                               

 

a więc         
                                                                                  

1. Jeśli     to

                               Stąd          

 

                             

 

     sztywność zastępcza

 

Równanie różniczkowe drgań swobodnych

                                         

 

                                      

 

 Okres

 2.  Jeśli ; to z (b)       stąd 

Równanie różniczkowe drgań swobodnych ma postać

                                     ;      

 

                                     ;   

 

 3. Jeśli  ; to z (b)                    

                                    

Równanie różniczkowe drgań swobodnych ma postać

 

                                  ;      

 

                                  ;   
4.Jeśli    to z  (e)

        

                              

 

Równanie różniczkowe drgań swobodnych ma postać

                                      

 

                                  

 

                                     ;   

Pytania i ćwiczenia sprawdzające:

1. Kiedy mamy do czynienia z drganiami swobodnymi tłumionymi i nietłumionymi.
2. Kiedy mamy do czynienia z drganiami wymuszonymi tłumionymi i nietłumiony  
3. W jakich przypadkach amplituda drgań osiąga wartości minimalne i maksymalne
4. Podaj i opisz równanie różniczkowe drgań swobodnych nietłumionych.
5. Podaj wzór na częstość drgań swobodnych nietłumionych i określ od czego ona zależy.
6. Podaj i opisz równanie drgań wymuszonych nietłumionych.
7. Opisać zjawisko rezonansu w przypadku drgań wymuszonych nietłumionych.
8. Podać i opisać równanie drgań swobodnych tłumionych.
9. Opisać zjawisko rezonansu i dudnienia w przypadku drgań wymuszonych nietłumionych.
10. Opisać różne przypadki tłumienia oraz podać co to jest dekrement tłumienia w przypadku drgań swobodnych tłumionych.
11. Podać i opisać równanie różniczkowe drgań wymuszonych tłumionych.

 

1.  Nieważki pręt o długości  [ ] zamocowano przegubowo w punkcie . Na drugim końcu umieszczono  masę skupioną  m [kg] .      Do pręta jest przymocowana sprężyna o sztywności k [N/m], która utrzymuje w równowadze pręt w położeniu poziomym (rys 21.4). Obliczyć częstość drgań własnych pręta.           (rys. ze str. 59 rys 3.6)

                                                                    

 

Odpowiedź:

                                  

 

 

2. Pręt o długości   [ ]    i masie  zamocowano przegubowo na jednym końcu w punkcie . Na drugim końcu pręta  umieszczono masę skupioną (rys 21.19). W środku pręta są przymocowane dwie sprężyny o sztywności k [N/m] , natomiast w punkcie jest zamocowany tłumik wiskotyczny o współczynniku tłumienia c [kg/s] . Obliczyć częstość drgań układu i równanie ruchu układu. 

 

                                                         

 

  Odpowiedź:

                                    

 

 

3. Ciało o ciężarze 50 [ ] zawieszone jest na sprężynie , której stała sprężystości k wynosi 20 [ ]. Opór ośrodka jest proporcjonalny do prędkości. Amplituda po 4 drganiach zmalała 12 razy. Obliczyć okres drgań i ich dekrement logarytmiczny.

 

  Odpowiedź:

                                         ,