czwarty

Temat 4: Twierdzenie o trzech siłach.
Środkowy(zbieżny) układ sił.

4.1.Twierdzenie o trzech siłach.
Rozpatrzmy przypadek, kiedy dany układ trzech sił nierównoległch, działających w jednej płaszczyźnie, przyłożony jest do bryły sztywnej w punktach 1,2,3 (rys. 4.1). Dwie siły P1
i P2 zastępujemy jedną siłą S=P1+P2 i pytamy, przy jakich warunkach siła P3 tworzy dwójkę zerową z siłą S. Pierwszym warunkiem jest to, aby siła P3 działała wzdłuż prostej działania siły S, czyli jej prosta działania musi przechodzić przez punkt A. Drugim warunkiem jest, aby miała tę samą wartoŚć i przeciwny zwrot. Ten drugi warunek przedstawiono na rysunku graficznie, to znaczy trójkąt sił P1, P2, P3 musi być zamknięty.
Opierając się na analizie tego układu sił (Środkowy) można wykazać następujące twierdzenie:

Trzy siły są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie, leżą w jednej płaszczyźnie i trójkąt sił jest trójkątem zamkniętym.

4.2. Układy sił
    Układ sił - jest to zbiór sił przylożonych w jednym lub w kilku punktach bryły.
    1. Środkowy (zbieżny) układ sił (płaski lub przestrzenny),
    2. Dowolny układ sił (płaski lub przestrzenny) .
        Układ sił równoległych (szczególny przypadek dowolnego układu sił)
Najprostszy układ sił w równowadze - dwójka zerowa.
Środkowy układ sił (płaski i przestrzenny) - układ, w którym proste działania sił przecinają sie w jednym punkcie.Taki układ sił można zastąpić jedna siłą (wypadkową tego układu), albo sprowadzić
do dwójki zerowej (układ sił jest wtedy w równowadze).
Dowolny układ sił (płaski i przestrzenny)- układ, w którym proste działania sił są dowolnie położone
wzgledem siebie tzn. nie przecinają się w jednym punkcie.
Układ sił równoległych- szczególny przypadek dowolnego układu sił, w którym proste działania wszystkich sił są do siebie równoległe.
4.3. Analityczne przedstawienie siły i wieloboku sił
    Dotychczsowe konstrukcje przeprowadzalismy na podstawie rachunku wektorowego. Rachunek wektorowy możemy zastąpić rachunkiem algebraicznym. W tym celu wprowadzamy układ współrzędnych, w którym siłę okreŚlamy rzutami wektora siły na osie układu wspólrzędnych.
Najwygodniej jest przyjmować układ prostokątny prawoskrętny.

Na rys. 4.2 Px i Py są współrzędnymi wektora siły P. Wspólrzędne siły nazywać będziemy miarami rzutów siły na odpowiednie osie układu współrzędnych. W przypadku siły na płaszczyźnie (rys.powyżej) współrzędne wektora siły P okreŚlone są wzorami:

Siła P tworzy kąt a z osią x.
Siła P wyrażona za pomocą jej współrzędnych i wektorów jednostkowych jest równa:

Jeżeli podane są współrzędne wektora siły, możemy okreŚlić wartoŚć siły i znaleźć prostą jej działania. WartoŚć siły obliczamy ze wzoru:

Prostą działania siły P (jej kierunek działania) wyznaczamy obliczając kąty ze wzorów:

Rzut sumy geometrycznej na dowolną oŚ równa się sumie rzutów na tę oŚ wszystkich sił. Suma geometryczna sił równa się wektorowi głównemu Wg. Współrzędne wektora głównego (w przypadku płaskiego Środkowego układu sił) okreŚlone są wzorami, a prostą działania wyznaczamy okreŚlając kąt:

Wspólrzędne wektora siły P w przypadku siły w przestrzeni okreŚlone są wzorami:

Siła P wyrażona za pomocą jej wspólrzędnych i wektorów jednostkowych jest równa:

Jeżeli podane są współrzędne wektora siły, możemy obliczyć wartoŚć siły i znaleźć prostą jej działania. WartoŚć siły obliczamy ze wzoru:

Prostą działania siły P wyznaczamy, obliczając kąty ze wzorów:

Pomiędzy cosinusami kątów a, b, g , zawartych pomiędzy siłą a osiami układu odniesienia, zachodzi związek:

Jeżeli rozpatrujemy siłę P na płaszczyźnie (układ odniesienia x,y) to

.
W ten sposób możemy przedstawić sumę geometryczną dowolnej liczby sił.
Rzut sumy geometrycznej na dowolną oŚ równa się sumie rzutów na tę oŚ wszystkich sił. Suma geometryczna sił równa się wektorowi głównemu Wg. Współrzędne wektora wektora głównego Wg(w przypadku przestrzennego Środkowego układu sił )są okreŚlone wzorami:

WartoŚć wektora głównego obliczamy na podstawie wzoru:

Prostą działania wektora głównego wyznaczamy, obliczając kąty a, b, g, zawarte między wektorem głównym Wg, a osiami układu:

4.4. Równowaga Środkowego układu sił
Jeżeli wielobok sił jest zamknięty (geometryczny warunek równowagi układu sił), to suma geometryczna sił jest zerem, czyli Wg=0, lub

Równania te wyrażają analityczny zapis warunku równowagi płaskiego Środkowego układu sił.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi płaskiego Środkowego układu sił jest, aby algebraiczne sumy rzutów wszystkich sił na dwie osie prostokątnego układu odniesienia były równe zeru (dwa równanai równowagi).
Jeżeli siły działają w przestrzennym układzie współrzędnych x,y,z, to otrzymamy trzy równania równowagi.

Są to równania wyrażające analityczny zapis warunku równowagi przestrzennego Środkowego układu sił.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi przestrzennego Środkowego układu sił jest, aby algebraiczne sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie prostokątnego układu odniesienia były równe zeru.

Przykład:
Na dwóch, prostopadłych do siebie, gładkich równiach pochyłych AB i BC spoczywa kula o ciężarze Q = 12N (rys. 4.4). OkreŚlić reakcje działające na kulę w punktach jej styku z płaszczyznami, jeżeli kąt.

Rozwiązanie:
Przystępując do rozwiązania zadania, kulę spoczywającą na dwóch gładkich powierzchniach równi pochyłych AB i BC, uwalniamy najpierw od więzów i przykładmy do niej oprócz siły ciężkoŚci Q odpowiednie siły reakcji tj. RD i RE (rys. 4.5).

    Reakcje te obrazują oddziaływanie powierzchni równi pochyłych na kulę i przyłożone są w punktach styku kuli z tymi powierzchniami. Ponieważ powierzchnie te są z założenia gładkie (nie występuje zjawisko tarcia tzn. nie ma sił stycznych), więc reakcje RD i RE są prostopadłe do powierzchni kuli, a zatem ich proste działania przechodzą przez punkt O czyli Środek kuli.
    Zadanie można rozwiązać matodą analityczną i metodą geometryczną.
Metoda analityczna - (korzystamy z analitycznych waruków równowagi Środkowego układu sił).
    Stosując analitycany sposób rozwiązania należy przyjąć w punkcie O układ współrzędnych Oxy.
Poniważ kula znajduje się w równowadze, więc muszą być spełnione następujące równania:

Z powyższych równań zawierających dwie niewiadome RD i RE, otrzymujemy:

Ponieważ

, więc po podstawieniu wartoŚci, otrzymamy:

Metoda geometryczna - (korzystamy z geometrycznego warunku równowagi Środkowego układu sił)
Poniważ kula znajduje się w równowadze, więc siły Q, RD i RE muszą tworzyć wielobok sił zamknięty (w tym przypadku trójkąt) - rys.4.6.

Z trójkąta tego znajdujemy:

Pytania i ćwiczenia sprawdzające.

    1. Podać twierdzenie o trzech siłach.
    2. Podać analityczny sposób przedstawienia siły i wieloboku sił.
    3. Co rozumiemy pod pojęciem wektora głównego (Wg )?
    4. Jaki układ nazywamy Środkowum (zbieżnym)?
    5. Okreslić analityczne warunki równowagi Środkowego układu sił (płaskiego i przestrzennego).

Ćwiczenia:

1. Znaleźć reakcje podpór A i B belki obciążonej, jak pokazano na rys. 4.3, gdy oraz (ciężar belki pominąć).

Odpowiedź: RA = 15800N
RB = 7100N