Temat 2:  Pojęcia wstępne. Wypadkowa dwóch sił nierównoległych na płaszczyźnie
 

2.1 Pojęcia wstępne
    Mechanika ogólna zwana również mechaniką teoretyczną lub techniczną, zajmuje się ustalaniem ogólnych praw ruchu ciał materialnych oraz zastosowaniem tych praw do pewnych wyidealizowanych schematów ciał rzeczywistych, jakimi są: punkt materialny oraz ciało doskonale sztywne.
Poniżej podane są pojęcia powszechnie  stosowane w mechanice.
    Punkt materialny - jest to punkt geometryczny, który ma pewną skończoną masę.
    Ciało sztywne (nieodkształcalne) - jest to ciało materialne, w którym wzajemne odległoŚci cząstek nie ulegają zmianie pod wpływem działających na nie sił. W rzeczywistoci wszystkie ciała są odkształcalne. Założenie takie może być przyjęte dla celów statyki.
    Bryła - jest to sztywne ciało materialne.
    Bryła swobodna - jest to bryła, która może zajmować dowolne położenie w przestrzeni.
    Stan ruchowy bryły - zmiana położenia jednej bryły względem innych brył, lub spoczynek.
    Siła - jest to oddziaływanie jednej bryły na drugą. (Siłą jest np: ciężar ciała czyli siła z jaką oddziaływuje na to cialo kula ziemska, oddziaływanie magnesu na kawałek stali).
    Układ sił - zbiór sił przyłożonych w jednym lub w kilku punktach bryły.
2.2. Siła jako wektor

 
Rys.2.1

Na rys.2.1 widzimy, że bryała A (kij) , oddziaływuje na bryłę B (kulę). Siła jest więc wektorem. Wektor siły P jest położony na prostej działania (l), ma zwrot (strzałkę), długoŚć (wartoŚć siły - wartoŚć siły przedstawiona jest odcinkiem CD), punkty zetknięcia się jednej bryły z drugą tj. punkt przyłożenia siły (D) i punkt zaczepienia siły (C).
    Układy równoważne- są to dwa układy sił takie, że każdy z nich przyłożony z osobna  do ciała sztywnego wywiera takie samo działanie.
    Wypadkowa - jest to układ równoważny zlożony tylko z jednej siły, który zastępuje dany układ sił.
    Siły składowe - siły danego układu.
    Składanie sił - jest to wyznaczanie wypadkowej układu sił lub innego prostszego układu.
    Układ sił w równowadze- jest to taki układ sił, który przyłożony do bryły swobodnej nie zmienia jej 2.3. Dwójka zerowa
Dwójką zerową nazywamy dwie siły (P, P' i S, S'), przyłożone do ciała sztywnego lub punktu materialnego, działające wzdłuż tej samej prostej o równych wartoŚciach liczbowych a zwrotach przeciwnych (rys. 2.2).
Jest to najprostszy układ sił będący w równowadze.

Pewnik:
    Do każdego układu sił działających na bryłę można dodać lub odjąć od niego układ równoważny z zerem (czyli dwójkę zerową), nie zmieniając stanu ruchowego bryły.
2.4. Twierdzenie o przesuwaniu siły wzdłuż prostej działania
    Działanie siły na ciało sztywne nie ulegnie zmianie jeżeli przesunie się siłę wzdłuż prostej działania do innego, punktu przyłożenia.

    Niech na bryłę działa siła P przyłożona w punkcie B (rys.2.3),
- w punkcie A przyłożono dodatkowo dwójkę zerową, złożoną z sił P1 i  P1',
- powstał więc układ trzech sił P, P1, P1',
- następnie od układu trzech sił odjęto dwójkę zerową, złożoną z siły P przyłożonej w punkcie B i siły P1' przyłożonej w punkcie A,
- ostatecznie pozostała siła P1,
- przesunięto więc siłę  P wzdłuż jej prostej działania od punktu B do punktu A i jej działanie na bryłę nie uległo zmianie.
2.5. Wypadkowa dwóch sił nierównoległych na płaszczyźnie
    Na rys.2.4 przedstawione są dwie siły, których proste działania przecinają się. Siły te można przesunąć do punktu O przecięcia się prostych działania tych sił  i złożyć je, budując równoległobok sił ABDC. Przekątna równolegloboku, siła W jest wypadkową sił P1 i P2 .
W = P1 + P2      -    przyjmujemy to za pewnik
Wartosć liczbową siły wypadkowej możemy obliczyć z trójkąta sił pokazanego na rysunku poniżej.
Ponieważ  , więc na podstawie twierdzenia cosinusów (tzwn. twierdzenia Carnota) mamy:

Kierunek wypadkowej możemy okreŚlić za pomocą jednego z kątów, jakie tworzy on z kierunkiem sił składowych (rys.2.5). Z twierdzenia sinusów na podstawie poniższego rysunku mamy:.
 


    Rysunek 2.6 (a)  -  Wypadkowa dwóch sił działających wzdłuż tej samej prostej o zgodnych zwrotach jest równa sumie algebraicznej tych sił, ma tę samą prostą działania i ten sam zwrot co siły składowe.
    Rysunek 2.6 (b)  -  Wypadkowa dwóch sił o różnych wartoŚciach liczbowych, przeciwnych zwrotach i działających wzdłuż tej samej prostej jest równa różnicy tych sił, ma tę samą prostą działania co siły składowe, a zwrot siły większej.
2.6. Rozkład siły na dwie składowe o danych kierunkach
        Rozłóżmy siłę P na dwa dane kierunki l i n (rys.2.7a). W tym celu przez początek (A) i koniec (B) siły P prowadzimy równoległe do prostych l i n (rys.2.7 b i c). W wyniku tego otrzymujemy równoległobok zbudowany na siłach P1 i P2, o kierunkach l i n, przy czym siły te spełniają warunek:

P1 + P2 = P.
Z konstrukcji pokazanych na rysunkach wynika, że każdą siłę można zastąpić dwiema siłami składowymi, działającymi wzdłuż dowolnych prostych.

Przykład:
    Dane są dwie siły P1 = 12N  i  P2 = 8N, których proste działania tworzą z sobą kąt  . Znaleźć siłę P3 stanowiącą różnicę dwóch danych sił.

Rozwiązanie:
    Rózńicę sił P1 i P2 okreŚlamy jako pewną siłę P3, która dodana do siły P2 da siłę P1. Można to zapisać równaniami:  Jeżeli  P1 - P2 = P3
                    to      P1 = P2 +P3.
    Korzystając z zasdy dodawnia wektorów, łączymy koniec wektora P2 (punkt A) z końcem wektora P1(punkt B), wykreŚlamy w ten sposób wektor P3, będący różnicą dwóch danych wektorów P1  i P2.
    WartoŚć bezwzględną wektora P3, (wartoŚć liczbową siły P3) możemy obliczyć analitycznie, korzystając ze związków zachodzących w trójkącie OAB (twierdzenie cosinusów):



Pytania i ćwiczenia  sprawdzające.

1. Podać definicję punktu materialnego.
2. Podać definicję ciała sztywnego.
3. Podać definicję dwójki zerowej (rysunek).
3. Podać twierdzenie o przesuwaniu siły wzdłuż jej prostej działania.
4. Wypadkowa dwóch sił nierównoległych na płaszczyźnie (rysunek).
5. Podać wzór na wyznaczenie wartoŚci liczbowej wypadkowej dwóch sił nierównoległych na płaszczyźnie.
6. Wypadkowa dwóch sił działąjących wzdłuż tej samej prostej (rysunki).

Ćwiczenia:

1. Na ciało m działają w jednej płaszczyźnie dwie siły; siła P1 = 10N przyłożona w punkcie B, oraz siła
P2 = 16N przyłożona w punkcie A (rys.2.8). Linie działania tych sił tworzą z sobą kąt    .
Znzleźć wartoŚć i kierunek siły wypadkowej (geometrycznie i analitycznie).

Odpowiedź:  - wartoŚć liczbowa siły wypadkowej W = 25,1N
                   - kierunek siły wypadkowej okreŚlamy za pomocą kąta .