szosty

Temat 8: Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił

8.1. Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił
W celu przeprowadzenia redukcji przestrzennego dowolnego układu sił, przyjmijmy bryłę, na którą działa ten układ sił. Redukcję przeprowadzimy na układzie np. trzech sił P1, P2, P3, zaczepionych w punktach A, B, C (rys. 8.1).

    Obieramy dowolny biegun redukcji w punkcie O. Następnie do punktu O przesuwamy równolegle dwie siły (korzystamy z twierdzenia o równoległym przesuwaniu siły). W tym celu w biegunie O przykładamy dwójki zerowe o siłach równych siłom P1, P2, P3. W ten sposób otrzymujemy układ sił Pi, zaczepionych w biegunie redukcji, oraz układ trzech par sił działających w różnych płaszczyznach.
    Pary te powstają z sił Pi (P1, P2, P3 ), działających na bryłę, i z sił wchodzących w skład dwójek zerowych, zaczepionych w punkcie O. Dodając geometrcznie siły P1, P2, P3, otrzymujemy siłę S, równą geometrycznie wektorowi głównemu Wg. Pod względem wartoŚci, kierunku i zwrotu, wektor główny Wg nie zależy od obioru bieguna redukcji i dlatego jest niezmiennikiem układu.
Zatem układ trzeh par sił, działających w różnych płaszczyznach, możemy zastąpić jedną parą, której moment równy jest geometrycznej sumie par składowych. Momenty tych par są równe momentom sił P1, P2, P3, zaczepionych odpowiednio w punktach A, B, C, względem przyjętego bieguna redukcji.
Na rys.a) momenty tych par przedstawiono umownie jako wektory M1, M2, M3. Wektory momentów tych par są prostopadłe do płaszczyzn działania odpowiednich par.
Wektor, będący sumą geometryczną momentów par układu, nazywamy momentem głównym Mg.
    Powyższe postępowanie doprowadziło do zastąpienia dowolnego układu siłą S równą wektorowi głównemu Wg, oraz parą sił o momencie równym momentowi głównemu Mg.
WartoŚć wektora głównego wyznaczamy z następujących wzorów:

Kierunek wektora głównego wyznaczamy z następujących wzorów:

Pomiędzy cosinuasmi tych kątów zachodzi związek:

WartoŚć momentu głównego wyznaczamy ze wzorów:

Kierunek momentu głównego wyznaczamy ze wzorów:

Pomiędzy cosinusami tych kątów zachodzi związek:

Kąt f zawarty pmiędzy wektorm głównym Wg, a momentem głównym Mg obliczamy, korzystając z iloczynu skalarnego wektorów Wg i Mg.
8.2. Przypadki redukcji przestrzennego dowolnego układu sił
W wyniku redukcji przestrzenny dowolny układ sił sprowadza się do siły wypadkowej S równej wktorowi głównemu S=Wg, przyłożonej w obranym biegunie redukcji, oraz do pary sił o momencie Mg.
Przypadki redukcji uzależnione są od wartoŚci wektorów Wg i Mg.
Poniżej podano pięć przypadków redukcji przestrzennego dowolnego układu sił.
1. Jeżeli w wyniku redukcji otrzymamy siłę S=Wg, różną od zera, oraz moment główny Mg, różny od zera, przy czym Wg jest równoległy do Mg, czyli:

to układ sił w tym przypadku sprowadza się do tzwn. skrętnika.
Skrętnikiem albo Śrubą statyczną nazywamy układ sił i pary sił, działającej w płaszczyźnie prostopadłej do tej siły. Skrętnik może być prawy albo lewy. Jeżeli kąt pomiędzy

to układ sił sprowadza się do skrętnika prawego - (rys. 8.2a).

Jeżeli kąt pomiędzy

to układ sił sprowadza się do skrętnika lewego - (rys. 8.2b).
Prostą działania siły S=Wg nazywamy osią centralną skrętnika.

2. Jeżeli siły S=Wg i moment Mg będą różne od zera, przy czym wektory te będą do siebie prostopadłe, czyli:

Układ sił redukuje się do jednej siły, czyli ma wypadkową.
WartoŚć siły wypadkowej jest równa wartoŚci wektora głownego, ma jego zwrot, kierunek i jest przesunięta od bieguna redukcji o ramię d = Mg/Wg, tak aby moment siły wypadkowej względem bieguna redukcji był równy momentowi głównemu.
3. Jeżeli, wektor główny Wg jest różny od zera, a moment główny Mg jest równy zeru czyli:

to układ sił redukuje się do wypadkowej równej wektorowi głownemu Wg, przyłożonej w obranym biegunie redukcji.
4. Jeżeli wielobok sił się zamyka, a wielobok wektorów momentów poszczególnych sił względem bieguna redukcji jest wielobokiem otwartym, czyli:

to układ sił sprowadza się do pary sił.
Kierunek, wartoŚć i zwrot wektora Mg nie zależą wówczas od obioru bieguna, a więc Mg jest niezmiennikiem układu.
5. Jeżeli oba wektory Wg i Mg są różne od zera

i nie są do siebie równoległe ani prostopadłe czyli gdy kąt pomiędzy

to układ sił sprowadza się do skrętnika, ale o osi przesuniętej względem bieguna redukcji o ramię d.

Pytania i ćwiczenia sprawdzające:

    1. Co rozumiemy przez redukcję układu sił?
    2. Wymienić wszystkie przypadki, które zachodzą przy redukcji dowolnego przestrzennego układu sił.
    3. Kiedy przestrzenny dowolny układ sił redukuje się do wypadkowej?
    4. Kiedy przestrzenny dowolny układ sił redukuje się do pary sił?
    5. Kiedy przestrzenny dowolny układ sił redukuje się do skrętnika?
    6. Co to jest skrętnik (Śruba statyczna)?

Ćwiczenia:

1. Przedstawiony na rys. 8.3 układ pięciu sił zredukować do siły i pary sił, obierając jako Środek redukcji wierzchołek O prostopadłoŚcianu. WartoŚci liczbowe sił oraz wymiary prostopadłoŚcianu są
następujące: P1 = P2 = P3 = 100, P4 = 200N, P5 = 300N, a = b = 1m, c = 2m.

Odpowiedź: Wg = 245N, Mg = 768 Nm.