Temat 12:   Tarcie cięgien. Tarcie  toczene


12.1. Tarcie cięgien
        Tarciem cięgna o krążek (bęben) nazywamy siły tarcia występujące między powierzchniami cylindrycznymi i cięgnami, taŚmami, sznurami, pasami lub linami na nie nawiniętymi. Siły te w hamulcach taŚmowych hamują wzajemny poŚlizg hamulca i taŚmy, natomiast w przypadku kół pasowych nie dopuszczają do wzajemnego poŚlizgu koła i pasa.
     W celu omówienia problemu tarcia cięgien, rozpatrzmy giętkie cięgno stykające się z powierzchnią walca. Na rys.12.1 przedstawiony jest walec a na nim cięgno stykające sie z jego powierzchnią wzdłuż łuku ADB. Kąt ADB odpowiada kątowi Środkowemu a, zwanemu kątem opasania.
     
Współczynnik tarcia cięgna o walec równy jest µ.
Do jednego końca cięgna przyłożona jest siła S1. W celu  zachowania równowgi sił należy znaleźć najmniejszą siłę S2, którą należy przyłożyć do drugiego końca cięgna. Rozpatrzmy w tym celu równowagę sił, przyłożonych do elementu walca DE o długoŚci ds = R df, gdzie R jest promieniem walca. Na element ten działają siły naciągu S + dS  i   S w punktach D i E, normalna reakcja dN i siła tarcia dT .
    Zrzutujmy siły na kierunek normalny i styczny. Otrzymamy wówczas równania równowagi:

Przyjmując
, otrzymujemy (pomijając wyrazy małe wyższego rzędu):

Ponieważ rozpatrywane położenie jest położeniem granicznym (tzn. na granicy poŚlizgu), więc
dT = µdN. Podstawiając wrtoŚci dT dN, otrzymujemy: dS =µ S df, a po scałkowaniu w granicach
f = 0,  f = ,a , otrzymamy:

12.2 Tarcie toczenia
12.2.1. Siła tarcia toczenia. Ramię oporu toczenia
        Toczeniu walca po odkształcalnej powierzchni towarzyszą skomplikowane zjawiska tarcia. Tarcie toczenia lub opór toczenia powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walca o ciężarze G po poziomej płaszczyźnie. Gdyby walec toczący się po podłożu i podłoże były idealnie sztywne, to styk występowałby tylko wzdłuż tworzącej walca, przechodzącej przez punkt A (rys.12.2).
    Scharakteryzujmy toczenie siłą oporu toczenia. Jeżeli przyłożymy do osi rolki siłę P, to między rolką a płaszczyzną, na której ona spoczywa, powstają siły tarcia.
Przeanalizujmy przypadek, kiedy siła P jest równoległa do poziomej płaszczyzny. Z doŚwiadczenia wiadomo, że przy zmianie wartoŚci siły P od 0 do pewnj granicznej wartoŚci, rolka pozostaje w spoczynku (można tak przyjąć z wystarczającą dla praktyki dokładnoŚcią), to znaczy siły działające na rolkę równoważą się. Reakcja N1 powinna przechodzić przez oŚ rolki co wynika z waruku równowagi dla trzech sił nierównoległych. W związku z tym punkt przyłożenia reakcji N1  musi być przesunięty od pionu OA o pewną odległoŚć f. W przeciwnym przypadku reakcja N1 nie miałaby składowej poziomej koniecznej do zrównoważenia siły P. Graniczną wartoŚć siły Pgr , przy której jeszcze nie będzie toczenia, można znaleźć z podobieństwa trójkątów OAB i trójkąta sił  N1, G, P.
Przyjmując  , otrzymamy:

skąd
.
        Wielkosć f mierzymy w jednostkach długoŚci i nazywamy ramieniem oporu toczenia.
Z ostaniego wzoru można również obliczać opór toczenia przy ruchu ustalonym.
        Stosunek f/R dla wielu elementów maszyn, wykonanych z różnych materiałów, ma wartoŚć znacznie mniejszą niż odpowiednie współczynniki tarcia Ślizgowego. Dlatego też w technice, tam gdzie jest to możliwe, dąży się do zastąpienia tarcia slizgowego tarciem toczenia (łożyska toczne, koła rolki itp.)
    Na rys.12.3 przedstawiony jest schemat sił odpowiadający kołu ciągnionemu siłą P  przyłożoną do osi.
W przypadku koła ciągnącego ( z przyłożoną parą sił o momencie M0 ) rozkład sił jest inny.
Na rys.12.4 siła oznacza siłę oporu użytecznego, M0 - moment przyłożenia pary sił, v0 - ustaloną prędkoŚć osi koła.
        Ponżej w tabeli 12.1 podane są wartoŚci wybranych współczynników tarcia tocznego f (ramię oporu toczenia).
Tabela 12.1


Koło                                                     Podłoże                          Współczynnik tarcia tocznego
                                                                                                                   f [cm]


Drewniane                                            drewniane                               0,05 - 0,06


Stalowe                                                szyna stalowa                               0,005

Żeliwne                                                żeliwne                                        0,005

Drewniane                                            stalowe                                    0,03 - 0,04


Kulka z hartowanej stali                         stalowe                                        0,001

Pytania i ćwiczenia sprawdzające
    1. Jaki jest związek między napięciami w cięgnie nawiniętym na chropowaty krążek (wzór Eulera)?
    2. Omówić istotę tarcia tocznego
    3. Co to jest ramię oporu toczenia  (współczynnik tarcia tocznego)?
 

Ćwiczenia:
   1. Walec o promieniu R toczy sie po poziomej płaszczyźnie pod działaniem siły P  o punkcie zaczepienia jak na rys.12.5. Ramię oporu toczenia walca o powierzchnię  wynosi f. Znaleźć, jaki musi być współczynnik tarcia Ślizgowego m, aby walec toczył się pod działaniem siły bez poŚlizgu.

Uwaga:
Aby walec toczył sie bez poŚlizgu, musi być spełniony warunek P<T.

Odpowiedź: