Temat 12: Tarcie cięgien. Tarcie toczene
12.1. Tarcie cięgien
Tarciem cięgna o krążek (bęben) nazywamy siły tarcia występujące
między powierzchniami cylindrycznymi i cięgnami, taŚmami,
sznurami, pasami lub linami na nie nawiniętymi. Siły te w hamulcach taŚmowych hamują wzajemny poŚlizg
hamulca i taŚmy, natomiast w przypadku kół
pasowych nie dopuszczają do wzajemnego poŚlizgu
koła i pasa.
W celu omówienia problemu tarcia cięgien, rozpatrzmy giętkie
cięgno stykające się z powierzchnią walca. Na rys.12.1 przedstawiony
jest walec a na nim cięgno stykające sie z jego powierzchnią wzdłuż łuku
ADB. Kąt ADB odpowiada kątowi Środkowemu
a, zwanemu kątem opasania.
Współczynnik tarcia
cięgna o walec równy jest µ.
Do jednego końca cięgna
przyłożona jest siła S1. W celu zachowania równowgi sił należy znaleźć najmniejszą
siłę S2, którą należy przyłożyć do drugiego końca cięgna. Rozpatrzmy
w tym celu równowagę sił, przyłożonych do elementu walca DE o długoŚci ds = R df, gdzie R jest promieniem walca. Na element
ten działają siły naciągu S + dS i S w punktach D
i E, normalna reakcja dN i siła tarcia dT
.
Zrzutujmy siły
na kierunek normalny i styczny. Otrzymamy wówczas równania równowagi:
Przyjmując
, otrzymujemy (pomijając wyrazy małe wyższego rzędu):
Ponieważ rozpatrywane położenie jest położeniem granicznym (tzn. na granicy
poŚlizgu), więc
dT = µdN. Podstawiając wrtoŚci dT
i dN, otrzymujemy: dS =µ S df, a po scałkowaniu
w granicach
f = 0, f = ,a , otrzymamy:
12.2 Tarcie toczenia
12.2.1. Siła tarcia toczenia. Ramię
oporu toczenia
Toczeniu walca po odkształcalnej powierzchni
towarzyszą skomplikowane zjawiska tarcia. Tarcie toczenia lub opór toczenia powstaje przy
usiłowaniu przetoczenia walca o ciężarze G po poziomej płaszczyźnie.
Gdyby walec toczący się po podłożu i podłoże były idealnie sztywne, to styk
występowałby tylko wzdłuż tworzącej walca, przechodzącej przez punkt A
(rys.12.2).
Scharakteryzujmy toczenie siłą oporu toczenia. Jeżeli przyłożymy do
osi rolki siłę P, to między rolką a płaszczyzną, na której ona spoczywa,
powstają siły tarcia.
Przeanalizujmy przypadek, kiedy siła P jest równoległa
do poziomej płaszczyzny. Z doŚwiadczenia wiadomo,
że przy zmianie wartoŚci siły P od 0 do pewnj
granicznej wartoŚci, rolka pozostaje w spoczynku
(można tak przyjąć z wystarczającą dla praktyki dokładnoŚcią), to znaczy siły działające na rolkę równoważą
się. Reakcja N1 powinna przechodzić przez oŚ
rolki co wynika z waruku równowagi dla trzech sił nierównoległych. W związku
z tym punkt przyłożenia reakcji N1 musi być przesunięty
od pionu OA o pewną odległoŚć f.
W przeciwnym przypadku reakcja N1 nie miałaby składowej
poziomej koniecznej do zrównoważenia siły P. Graniczną wartoŚć siły Pgr ,
przy której jeszcze nie będzie toczenia,
można znaleźć z podobieństwa trójkątów OAB i trójkąta sił N1, G, P.
Przyjmując
, otrzymamy:
skąd
.
Wielkosć f mierzymy w jednostkach długoŚci i nazywamy ramieniem oporu toczenia.
Z ostaniego wzoru można również obliczać opór toczenia
przy ruchu ustalonym.
Stosunek f/R dla wielu elementów
maszyn, wykonanych z różnych materiałów, ma wartoŚć
znacznie mniejszą niż odpowiednie współczynniki tarcia Ślizgowego. Dlatego też w technice, tam gdzie jest
to możliwe, dąży się do zastąpienia tarcia slizgowego tarciem toczenia (łożyska
toczne, koła rolki itp.)
Na rys.12.3 przedstawiony jest schemat sił odpowiadający kołu
ciągnionemu siłą P przyłożoną
do osi.
W przypadku koła ciągnącego ( z przyłożoną parą sił o momencie M0 ) rozkład sił
jest inny.
Na rys.12.4 siła S oznacza siłę oporu użytecznego, M0 - moment przyłożenia
pary sił, v0 -
ustaloną prędkoŚć
osi koła.
Ponżej w tabeli 12.1 podane są wartoŚci wybranych współczynników tarcia tocznego f
(ramię oporu toczenia).
Tabela 12.1
Koło
Podłoże Współczynnik tarcia tocznego
f [cm]
Drewniane drewniane
0,05 - 0,06
Stalowe szyna stalowa
0,005
Żeliwne żeliwne
0,005
Drewniane stalowe
0,03 - 0,04
Kulka z hartowanej stali stalowe
0,001
Pytania i ćwiczenia sprawdzające
1. Jaki jest związek między napięciami w cięgnie
nawiniętym na chropowaty krążek (wzór Eulera)?
2. Omówić istotę tarcia tocznego
3. Co to jest ramię oporu toczenia (współczynnik
tarcia tocznego)?
Ćwiczenia:
1. Walec o promieniu R toczy sie po poziomej
płaszczyźnie pod działaniem siły P o punkcie zaczepienia jak na rys.12.5. Ramię oporu
toczenia walca o powierzchnię wynosi f. Znaleźć, jaki musi być współczynnik
tarcia Ślizgowego m,
aby walec toczył się pod działaniem
siły P bez poŚlizgu.
Uwaga:
Aby walec toczył
sie bez poŚlizgu, musi być spełniony warunek P<T.
Odpowiedź: