Temat 7: Redukcja
płaskiego dowolnego układu sił
7.1. Redukcja płaskiego dowolnego
układu sił (układ sił o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie).
Przez
redukcję układu sił rozumiemy przekształcenie układu w równoważny układ
złożony z siły i pary sił (zastępujemy
działanie układu sił jedną siłą i parą sił).
Rozważmy dowolny układ sił działających w jednej
płaszczyźnie (rys.7.1) Proste działania sił Pi
są
dowolnie położone względem siebie na płaszczyźnie tzn. nie przecinają się
w jednym punkcie. Zadajmy sobie pytanie przy jakich warunkach układ
sił Pi
da
się zastąpić jednym z najprostszych układów sił, to jest dwójką zerową,
jedną siłą lub parą sił.
W tym celu przeprowadzimy redukcję
układu sił.
W płaszczyźnie działania siły obieramy dowolny
punkt np. O, który nazywamy biegunem redukcji.
Korzystamy z twierdzenia o
równoległym przesuwaniu siły i przesuwamy siły P1
, P3,
P4
do
bieguna O. W ten sposób układ tych sił zaczepionych w punktach
A,
B, C , D przekształcilismy w układ równoważny, złożony z płaskiego
Środkowego
układu sił oraz układu czterech par sił.
Układ Środkowy zastąpimy
jedną siłą S, gdy suma geometryczna
sił Pi
różna jest od zera, a układ par zastąpimy jedną parą o momencie równym
algebraicznej sumie momentów par układu. Wektory momentów poszczególnych
par są równoległe, więc możemy je sumować algebraicznie. Zmiast obliczć
algebraiczną sumę mometów par układu, możemy obliczać algebraiczną sumę
momentów względem bieguna O. Zatem w ogólnym przypadku układ sił
Pi
zastąpimy
jedną siłą S, zaczepioną w biegunie
O,
i parą sił o momencie:
(1)
Siła S jest równa sumie wszystkich
sił układu.
Geometryczną sumę sił układu, nazywamy wektorem
głównym i
oznaczamy Wg.
Sumę momentów sił Pi względem
bieguna redukcji nazywamy momentem głównym
i oznaczamy Mg.
WartoŚć wektora głównego Wg
obliczamy,
jako sumę wszystkich sił układu na osie odniesienia Ox
i Oy.
Stąd otrzymujemy:
Kierunek wektora głównego okreŚlamy,
obliczając cosinus kąta, jaki prosta jego działania tworzy
z osią Ox :
Dla układu płaskiego sił wartoŚć
momentu głównego na podstawie wzoru (1), jest równa sumie
algebraicznej momentów sił składowych względem bieguna redukcji.
7.2. Przypadki redukcji płaskiego
dowolnego uładu sił.
Przypadki
redukcji zależą od wartoŚci
wektora głównego Wg
,oraz
wartoŚci momentu
głównego Mg.
Poniżej podano cztery przypadki redukcji płaskiego dowolnego układu sił.
1. Przyjmijmy, że w wyniku
redukcji otrzymaliŚmy
siłę S
, równą wektorowi głównemu Wg
, różną od zera, oraz parę sił o momencie Mg
różnym od zera (rys.7.2a), czyli:
Siły pary (W, W')
o momencie
Mg
możemy
obrać równe co do wartoŚci
wektorowi glównemu Wg.
Wtedy ramię pary będzie równe:
Parę tę możemy tak obrócić, aby jedna z jej sił tworzyła układ równoważny
z zerem z siłą S = Wg
(rys. 7.2b). Wtedy dwójkę zerową
W = - S można wyeliminować.
Wówczas, rozpatrywany układ sprowadza się do jednej siły
W równej geometrycznie wektorowi głównemu Wg
.
Układ
ma więc siłę wypadkową o prostej działania przechodzącej przez punkt O1
(rys. 7.2b), przesunięty względem bieguna redukcji na taką
odległoŚć i w takim kierunku, że moment
wypadkowej względem bieguna redukcji równy jest wartoŚci
momentu głównego.
Dlatego można powiedzieć, że moment siły wypadkowej
płaskiego układu sił względem dowolnie obranego bieguna w ich płaszczyźnie
działania równy jest sumie algebraicznej momentów sił układu względem tego
bieguna.
O tym, gdzie przechodzi prosta działania siły
wypadkowej decyduje suma momentów sił układu względem bieguna.
Wartosć, zwrot i kierunek wypadkowej obliczamy ze wzorów podanych powyżej
w punkcie 1.
Natomiast punkt zaczepienia wypadkowej wyznaczamy stosując twierdzenie
o momencie wypadkowej względem dowolnego bieguna. PrzypuŚćmy,
że punkt O1(x,y) leży na prostej działania
wypadkowej W.
Ponieważ Mo(W) = Mg
,
więc:
Wgyx - Wgxy - Mg
= 0.
Jest to równanie prostej działania wypadkowej. Prosta
ta nazywa się osią centralną.
OŚ centralna jest prostą działania wypadkowej,
a każdy punkt na niej leżący jest punktem zaczepienia
siły W.
2. Jeżeli w wyniku redukcji,
wówczas układ sprowadza się do
siły wypadkowej równej wektorowi głównemu, zaczepionej
w biegunie redukcji.
3. Może się okazać, że w wyniku
redukcji
to wtedy układ sprowadza się do
pary sił o momencie równym momentowi głównemu.
4. Jeżeli się okaże, że w
wyniku redukcji wektor główny i moment główny są równe zeru tzn.:
to wtedy układ
pozostaje w równowadze.
Pytania i ćwiczenia sprawdzające:
1. Co rozumiemy przez redukcję
układu sił?
2. Jakie są możliwe przypadki
redukcji płaskiego dowolnego układu sił?
3. Kiedy płaski dowolny układ
sił redukuje się do pary sił?
4. Kiedy płaski dowolny układ
sił pozostaje w równowadze?
Ćwiczenia:
1.
Do sztywnej kwdratowej ramy o boku a = 1m przyłożone są w narożach
wzdłuż krawędzi
zewnętrznych siły P1 =
30N, P2 = 20N, P3
= 5N, P4 = 5N (rys. 7.3). Zbadać
do czego zredukuje się układ sił?
Odpowiedź:
Ponieważ wektor główny ,
układ sił sprowadza się do wypadkowej równej wektorowi głównemu i zaczepionej
w biegunie redukcji (Wg = 14N, ).