TESSELACJA

Co to jest tesselacja?

Co to jest tesselacja?

Tesselacja, zwana również parkietażem, jest to pokrywanie danej płaszczyzny figurami geometrycznymi. Warunki jakie muszą zajść żeby mówić o porawnym parkietażu to:

  • Figury nie mogą na siebie zachodzić
  • Figury nie mogą pozostawiać luk

Chociaż najczęściej widzimy parkietaż w formie 2-wymiarowej, można również go spotkać na bryłach(na przykład łaty na piłce do piłki nożnej). Podobnie w dwóch wymiarach poza przestrzenią Euklidesową, można również stworzyć parkietaż w przestrzeni hiperbolicznej.

Tesselacja sferyczna

Tesselacja hiperboliczna

W przestrzeni euklidesowej rozróżniamy 4 główne rodzaje parkietażu:

  • Parkietaże foremne
  • Parkietaże regularne
  • Parkietaże okresowe
  • Parkietaże nieokresowe

Parkietaże foremne to takie które są zbudowane jednyie z wielokątów foremnych. Parkietaże foremne są zarazem regularnymi. Jednak ze względu na szczególne właściwości takich wielokątów, istnieją tylko 3 parkietaże foremne, o których więcej w dziale "tesselacja regularna"

Parkietaże regularne to takie w których przy każdym wierzchołku spotyka się taki sam zestaw figur, nie muszą one być w tej samej pozycji, jednak odpowiadające sobie figury muszą być podobne. Parkietaże regularne mogą być zarówno okresowe jak i nieokresowe.

Parkietaże okresowe, to takie w których możemy znaleść okres przesunięcia przy jakim wzór na płaszczyźnie będzię się pokrywał, zaś nieokresowe to takie dla których taki okres nie istnieje.

Sposób opisu tesselacji

Tesselację opisujemy(tylko w wypadku gdy jest stworzona wyłącznie z wielokątów foremnych) zapisując jakie figury spotykają się przy wierzchołkach. Wybieramy wierzchołek i sprawdzamy jakie figury się w nim spotykają

W tym przykładzie przy każdym wierzchołku spotykają sie 2 trójkąty i 2 sześciokąty. A zatem opisujemy tą tesselację jako 6.6.3.3 lub skrótowo \(6^2\),\(3^2\)

W tym wypadku w dwóch różnych wierzchołkach mogą się spotkać 2 różne zestawy figur(nadal wyłącznie wielokąty foremne). Wtedy opis każdego z wierzchołków oddzielamy kropką. Więc ta tesselacja opisana byłaby jako: 12.4.4.3,3.3.3.3.3.3 lub \(12.4^2.3,3^6\)

Tesselacja regularna

Jak powiedzieliśmy w pierwszym dziale tesselacja regularna to taka w której przy każdym wierzchołku spotyka się taki sam zestaw figur, nie muszą one być w tej samej pozycji, jednak odpowiadające sobie figury muszą być podobne. Parkietaże regularne mogą być zarówno okresowe jak i nieokresowe.

Tesselacja foremna

Szczególnym przypadkiem tesselacji regularnej jest tesselacja foremna. Jak wcześniej wspomnieliśmy, istnieją tylko 3 takie tesselacje. Oto one:

\(3^6\)
\(4^4\)
\(6^3\)

Dowiedziemy teraz dlaczego istnieją tylko te 3 tesselacje foremne

Otóż w każdym k-bocznym wielokącie foremnym suma kątów wewnętrznych wynosi \(180(k-2)\). Zatem każdy kąt ma miarę

\(180(k-2) \over k\)

A jeżeli \( l\) to liczba figur jakie mogą się spotkać przy jednym wierzchołku to wiemy że

\(l\)\({180(k-2)} \over {k}\)\(=360\)

W uproszczeniu:

\(kl - 2l = 2k\)

Dodajemy obustronnie 4 i zwijamy do wzoru skróconego mnożenia

\(kl - 2l + 4 = 2k + 4\)

\(kl - 2l + 4 - 2k = 4\)

\( (k-2)(l-2) = 4\)

Jako że szukamy liczby wielokątów oraz kątów, jest to równanie diofantyczne i rozwiązujemy je tylko dla liczb naturalnych dodatnich. Więc jedyne możliwości to:

\( k=4, l=4 \)

\( k=6, l=3 \)

\( k=3, l=6 \)

Tesselacja regularna nieforemna okresowa

Istnieje również 8 parkietaży korzystających z kilku różnych wielokątów foremnych, którymi da się pokryć płaszczyznę. Używają one do trzech wielokątów foremnych.

Inne parkietaże regularne są już tylko możliwe do osiągnięcia używając wielokątów nie foremnych

Parkietaże nieokresowe

Parkietaże nieokresowe, najprościej mówiąc to takie dla których nie znajdziemy żadnego okresu przesunięcia dowolnego zestawu figur po którym wzór stale by się powtarzał.

Ze względu na to że takich parkietaży jest nieskończenie wiele, i łatwo je zobaczyć zainteresowano się parkietażami aperiodycznymi\(^1\) Odróżnieją się one od tesselacji nieokresowej tym że płytki użyte w parkietażu aperiodycznym, w dowolnym usatwienu, mogą tworzyć tylko i wyłącznie parkietaże nieregularne.

\(^1\)O ile po polsku aperiodyczność i nieokresowość są synonimami, w języku angielskim istnieje rozróżnienie na non-periodic i aperiodic. Zatem parkietaż aperiodyczny należy uważać za wolne tłumaczenie, użyte tylko do ułatwienia odróżnienia tych zjawisk.

Najbardziej znanym parkietażem aperiodycznym jest parkietaż Penrose'a

Używa on kafelek w kształcie tak zwanych "latawców" i "strałek". W pierwszym wypadku kafelki muszą być ułożone tak aby odpowiednie zęby na siebie zachodziły. Aby uprościć rysowanie stworzono również wersję bez zębów w której "legalne" są jedynie styki które stworzą połączenie pomiędzy łukami przy kątach. Należy zwrócić uwagę na to, że niebieskie łuki w latawcu i strzałce nie są w równej odległości od wierzchołka

Oto kilka nielegalnych pozycji przy użyciu płaskich kafelków:

A tak wygląda aranżacja kafelków w odpowiednie ustawienia. Proszę zwrócić uwagę na układ niebieskich i pomarańczowych łuków oraz na kształty które tworzą.

Kafelka Socolara-Taylor'a

Latawce i strzałki Penrose'a to para kafelek zdolna do tesselacji nieokresowej. Czy istnieje również kafelka potrafiąca to robić samodzielnie?

Otóż, w latach 90 XX wieku, Joan Taylor oraz Joshua Socolar próbowali odpowiedzieć na to pytanie. Stworzyli własną kafelkę, która prawie rozwiązuję ten problem. Oto ona:

Niestety, ta płytka posiada wiele elementów które utrudniają prace z nią, a przede wszystkim wymaga obrotu na drugą stronę, aby pokryć płaszczyznę nieokresowo. Oznacza to potrzebę wprowadzania 3 wymiaru.

A więc problem płytki która potrafiłaby samodzielnie pokryć pozostaje nadal otwarty i nadal oczekuje na rozwiązanie.

Tesselacja Dirichleta

Tesselacja Dirichleta, zwana również Diagramem Woronoja jest tworzona poprzez zasadę: Dla każdego danego punktu na płaszczyźnie tworzy się obszar który jest bliżej tego punktu niż każdego innego na tej płaszczyźnie.

Jest to bardzo ciekawy przypadek tesselacji, gdyż przy losowych punktach, otrzymujemy losowe płytki które idealnie pokrywają płaszczyznę. Wynika z tego że nie zawsze w tesselacji mamy do czynienia z konkretnymi, wcześniej dobranymi płytkami.

Możemy również rozważyć Diagram Woronoja w tak zwanej "Przestrzeni Manhattańskiej. Możemy skorzystac z tego rodzaju przestrzen, żeby wyznaczyć na przykład obszar na którym odpowiedzialna jest jakaś jednostka administracyjna. Oto jak działa pzestrzeń Manhattańska:

Zielona linia, mierząca odległość po prostej, w przestrzeni euklidesowej ma miarę \(6 \sqrt{2}\)(uznajemy że każdy pusty kwadrat ma bok 1, a szerokość ulicy jest pomijalna). W przestrzeni Manhattańskiej odległość mierzy się poprzez wyznaczenie różnicy współrzędnych X punktów oraz różnicy współrzędnych Y punktów. W tym wypadku drogi: niebieska, żółta i czerwona mają równe długości, które wynoszą \(12\).

W diagramie Woronoja w przestrzeni Manhattańskiej, odległość również jest wyznaczane ze wzoru \((X_{a} - X_{b}, Y_{a} - Y_{b})\). A porównanie jej z tesselacją Dirichleta w przestrzeni euklidesowej wygląda tak:

Parkietaże w kulturze

Chociaż na tej stronie do tej pory przeważały matematyczne przykłady parkietażu, to w rzeczywistości jest on głównie wykorzystywany w sztuce.

Na przykład pałac Alhambra w Hiszpanii, słynie przede wszystkim z pięknych mozaik, które spełniają to samo zadanie co parkietaże, czyli pokrywają jakąś powierzchnie. Cały pałac, wraz z mozaikami należy do listy światowego dziedzictwa UNESCO

Inny przykład tesselacji w sztuce to dzieła M. C. Eschera. Zajmował się on malarswem zainspirowanym matematyką. Tworzył płytki o bardzo różnych i ciekawych kształtach, narysowane dokładnie tak aby dwie odmiany płytek uzupełniały się wzajemnie.