Złoty Podział


Budulec świata

Poznaj złotą proporcję

Od autora

Witam Cię w rozdziale pierwszym bardzo szerokiego zagadnienia jakim jest złota proporcja. Po tym rozdziale mogą nasuwać Ci się pewne pytania i wątpliwości- to normalne. Zaufaj mi, a doświadczysz sam, jak wszystkie wątki łączą się się ze sobą w harmonijną całość. Mam nadzieje, że ten temat będzie dla Ciebie równie intrygujący co dla mnie.
Użyte narzędza znajdziesz na osobnej stronie: Narzędzia

Złoty podział

Jest to podział odcinka na dwie części w taki sposób, że cały odcinek ma się do dłuższej części tak, jak dłuższa do krótszej. Taki podział tworzy proporcję nazywaną złotą, którą oznaczamy grecką literą Φ. Z obliczeń wynika, że wartość liczbowa tego stosunku wynosi w przybliżeniu 1,61803...


Źródło:Wikipedia.pl

Obliczanie liczby Φ

Udowodnijmy więc, iż liczba Φ rzeczywiście wynosi w przybliżeniu 1,61803..



Wiedząc, iż złoty podział otrzymujemy poprzez podzielenie całego odcinka (a+b) przez odpowiednią jego część a Możemy zapisać:





Pomnóżmy całe nasze równanie przez Φ

Przekształcamy nasze równanie do postaci ogólnej równiania kwadratowego

Delta jest równa 5. Nasze rówanie posiada więc dwa równania rzeczywiste, w postaci:



Rozpatrujemy stosunek większej części odcinka do mniejszej, więc nasze rozwiązanie musi być większe od 1. Otrzymujemy jedno prawidłowe rozwiązanie równania:



Źródło: 'Golden Section' Scott Olsen , wikipedia.pl

1. 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 5 . . .





Konstrukcja złotego prostokąta

Φ Otrzymamy dzieląc dłuższy bok końcowego prostokąta przez krótszy , lub bok kwadratu początkowego przez krótszy bok dorysowanego przez nas prostokąta.



Dowód w oparciu o tw. Pitagorasa:











Złoty prostokąt jako jedyny ma taką oto właściwość, że można podzielić go (przy pomocy kwadratów) na mniejsze prostokąty. W otrzymanych prostokątach, również odnajdziemy złotą proporcje Φ . Posługując się programem komputerowym możemy rysować kolejne prostokąty bez końca. Warto tu powiedzieć, że gdy zmienimy nieco proporcje boków naszego wyjściowego prostokąta, wówczas kolejne rysowane prostokąty przestaną być harmonijne.

Źródło: 'Golden Section' by Michael Schreiber 2007, wikipedia.pl

Złoty podział odnajdziemy w proporcjach naszego ciała.

  • Wzrost człowieka podzielony przez odległość od podłogi do pępka.
  • Długość nogi podzielona przez odległość od podłogi do kolana.
  • Odległość od ramienia do koniuszków palców podzielona przez odległość od łokcia do koniuszków palców
  • Wysokość twarzy podzielona przez szerokość twarzy
  • Odległość od brwi do ust podzielona przez długość nosa
  • Wyczyść

architektura

Piramidy

  • Zobacz boską proporcję Φ
  • Wyczyść

Egipcjanie również znali i korzystali ze złotej proporcji.
Piramidy, które do dziś zachwycają turystów i intrygują naukowców na całym świecie zachowują złotą proporcję.

Zdjęcia: wikipedia.pl, własne


Udowodnijmy to na podstawie wymiarów Piramidy Cheopsa



  • Wysokość bocznej ściany: 186,47 m
  • Długość boku (właściwie to boku ): 230,45 m


  • Zobacz boską proporcję Φ
  • Wyczyść



Greccy architekci również znali i bardzo chętnie stosowali boski podział. Partenon jest chyba najczęściej przytaczanym przykładem 'złotego' budynku, ponieważ możemy wskazać w nim nie tylko stosunek wybranych 2 boków, a cały złoty prostokąt.

Zdjęcie pochodzi z www.wingsdailynews.com

Rozdział 2

Liczby Fibonacciego