Rozpocznij

Twierdzenie Mohra - Mascheroniego

Praca została wykonana na potrzeby IX edycji konkursu Zobaczyć Matematykę
autor : Sebastian Wójcik

Skąd się wzięło twierdzenie Mohra - Masheroniego

Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii.

Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928.

Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

Teraz parę słów o idei dowodu tego twierdzenia. Każda konstrukcja jest sekwencją kroków, w których wykonywane są następujące czynności:

1. Poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty;

2. Konstrukcja okręgu o danym środku i danym promieniu;

3. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych;

4. Wyznaczanie punktów przecięcia dwóch okręgów;

5. Wyznaczanie punktów przecięcia prostej z okręgiem;

6. Wybór dowolnego punktu na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).

Wystarczy więc pokazać, że następujące konstrukcje są możliwe za pomocą samego cyrkla:


(KONSTRUKCJA I)

Konstrukcja odbicia symetrycznego punktu względem danej prostej;

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!


(KONSTRUKCJA II)

Konstrukcja odcinka k razy dłuższego niż dany odcinek;

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

(KONSTRUKCJA III)

Konstrukcja czwartego odcinka proporcjonalnego do trzech innych odcinków;

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

(KONSTRUKCJA IV)

Konstrukcja środka łuku znając środek okręgu.

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Konstrukcje wielokątów foremnych

Wielokąt foremny to taki wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt równoboczny. Czworokąt foremny to kwadrat. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg, a środki tych okręgów pokrywają się.

W tabeli poniżej przedstawiono kilka przydatnych wzorów dotyczących wielokątów foremnych. Przyjęte oznaczenia to:

n- liczba boków wielokąta foremnego

a- długość jednego boku wielokąta

R– promień okręgu opisanego na wielokącie

r– promień okręgu wpisanego w wielokąt

Kliknij na pustę pole by zobaczyć wzór.
x
Miara kąta wewnętrznego wielokąta (między sąsiednimi bokami) a = 180 ° - 360 ° n
a = π · n - 2 n r a d
Miara kąta środkowego β = 360 ° n
β = 2 π n r a d
Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym R = a 2 sin π n
R = a 2 csc π n
Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny r = a 2 t g π n
r = a 2 c t g π n
Długość boku a = 2 R 2 - r 2
a = 2 R sin π n
a = 2 r · t g π n
Pole Powierzchni P = 1 2 n a r
P = 1 4 n a 2 c t g π n
P = n r 2 t g π n
P = n R 2 sin π n cos π n
P = 1 2 n R 2 sin 2 π n

Środkami klasycznymi, czyli za pomocą linijki i cyrkla możemy skonstruować wielokąty foremne takie jak: trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny, ośmiokąt foremny, dziesięciokąt foremny. Zgodnie z twierdzeniem Mohra – Mascheroniego te same wielokąty foremne możemy skonstruować za pomocą samego cyrkla. Animacje poniżej prezentują konstrukcje niektórych z nich w oparciu o 4 podstawowe konstrukcje, które prezentowane są jako dowód tego twierdzenia.


Trójkąt równoboczny

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Sześciokąt foremny

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Kwadrat

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Ośmiokąt foremny

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Pięciokąt foremny

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Dziesięciokąt foremny

Kliknij

Twoja przegldarka nie obsługuję canvas!!

Bibliografia

Literatura

  1. Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie; Zofia Krygowska; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1958r.
  2. Matematyczna bombonierka; Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda; wyd. Demart; 2015r.
  3. 25 zadań konstrukcyjnych z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku; Wiesława Regel; wyd. Bila; Rzeszów 2014r.

Programy i technologie

  1. HTML
  2. CSS
  3. JavaScript
  4. jQuery
  5. MathJax
  6. Brackets 1.8
  7. Inkscape 0.92